Номер 5, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Упростите выражение $ \frac{x^2 - 4}{2x^2 + 7x + 5} + \frac{1}{x + 1} $.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 4$. Это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

2. Разложим на множители знаменатель $2x^2 + 7x + 5$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 7x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 + 7x + 5 = 2(x - (-\frac{5}{2}))(x - (-1)) = 2(x + \frac{5}{2})(x + 1) = (2x + 5)(x + 1)$

3. Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(2x + 5)(x + 1)} + \frac{1}{x + 1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x + 5)(x + 1)$. Для этого домножим вторую дробь на множитель $(2x + 5)$:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(2x + 5)(x + 1)} + \frac{1 \cdot (2x + 5)}{(x + 1)(2x + 5)}$

5. Сложим дроби:

$\frac{(x - 2)(x + 2) + 2x + 5}{(2x + 5)(x + 1)}$

6. Упростим числитель получившейся дроби:

$(x - 2)(x + 2) + 2x + 5 = (x^2 - 4) + 2x + 5 = x^2 + 2x + 1$

Полученный числитель $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом суммы $(x + 1)^2$.

7. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(x + 1)^2}{(2x + 5)(x + 1)} = \frac{x + 1}{2x + 5}$

Сокращение возможно при условии $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения.

Ответ: $\frac{x + 1}{2x + 5}$