Номер 4, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2}$;

2) $\frac{x^2 - 5x}{30 - x - x^2}$.

1) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2}$

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 - 4x + 4$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

Знаменатель $x^2 - x - 2$ – это квадратный трехчлен. Разложим его на множители. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x-2)(x+1)$.

Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+1)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$, учитывая, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Также из знаменателя следует, что $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

$\frac{x-2}{x+1}$

Ответ: $\frac{x-2}{x+1}$.

2) $\frac{x^2 - 5x}{30 - x - x^2}$

Аналогично предыдущему пункту, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $x^2 - 5x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - 5x = x(x-5)$.

Знаменатель $30 - x - x^2$ – квадратный трехчлен. Для удобства вынесем $-1$ за скобки, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$30 - x - x^2 = -(x^2 + x - 30)$.

Теперь разложим на множители выражение в скобках $x^2 + x - 30$, решив уравнение $x^2 + x - 30 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -30$

Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Тогда $x^2 + x - 30 = (x-5)(x-(-6)) = (x-5)(x+6)$.

Следовательно, знаменатель исходной дроби равен $-(x-5)(x+6)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{x(x-5)}{-(x-5)(x+6)}$

Сократим общий множитель $(x-5)$, при условии что $x \neq 5$. Также из знаменателя следует, что $x \neq -6$.

$\frac{x}{-(x+6)} = -\frac{x}{x+6}$

Ответ: $-\frac{x}{x+6}$.