Номер 3, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 5x - 14;$

2) $4x^2 - 9x + 2.$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, то трёхчлен можно разложить по формуле: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

1) $x^2 - 5x - 14$

Сначала найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

Коэффициенты трёхчлена: $a = 1$, $b = -5$, $c = -14$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь подставим найденные корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$, а также коэффициент $a = 1$ в формулу разложения:

$x^2 - 5x - 14 = 1 \cdot (x - 7)(x - (-2)) = (x - 7)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 2)$.

2) $4x^2 - 9x + 2$

Найдём корни квадратного уравнения $4x^2 - 9x + 2 = 0$.

Коэффициенты трёхчлена: $a = 4$, $b = -9$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Подставим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{1}{4}$, а также коэффициент $a = 4$ в формулу разложения:

$4x^2 - 9x + 2 = 4(x - 2)(x - \frac{1}{4})$.

Чтобы избавиться от дроби в скобках, внесём множитель $4$ во вторую скобку:

$4(x - 2)(x - \frac{1}{4}) = (x - 2) \cdot 4(x - \frac{1}{4}) = (x - 2)(4x - 1)$.

Ответ: $(x - 2)(4x - 1)$.