Номер 3, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 14x + 24$;

2) $3x^2 + 10x - 8$.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и использовать формулу:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

1) $x^2 + 14x + 24$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 + 14x + 24 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=14$, $c=24$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-14 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-14 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения на множители:
$x^2 + 14x + 24 = 1 \cdot (x - (-12))(x - (-2)) = (x + 12)(x + 2)$.

Ответ: $(x + 12)(x + 2)$.

2) $3x^2 + 10x - 8$

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 10x - 8 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=-8$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$
$x_2 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Подставим корни и коэффициент $a=3$ в формулу разложения:
$3x^2 + 10x - 8 = 3(x - (-4))(x - \frac{2}{3}) = 3(x + 4)(x - \frac{2}{3})$.
Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель 3 на второй множитель $(x - \frac{2}{3})$:
$3(x + 4)(x - \frac{2}{3}) = (x + 4) \cdot 3 \cdot (x - \frac{2}{3}) = (x + 4)(3x - 2)$.

Ответ: $(x + 4)(3x - 2)$.