Номер 5, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Упростите выражение

$\frac{1}{x+2} - \frac{x^2+10x+3}{6x^2+11x-2}$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:$$ \frac{1}{x+2} - \frac{x^2+10x+3}{6x^2+11x-2} $$

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби $6x^2+11x-2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $6x^2+11x-2=0$, используя формулу корней через дискриминант.

Вычислим дискриминант:$$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 = 13^2 $$

Теперь найдем корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-24}{12} = -2 $$

Используя найденные корни, разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:$$ 6x^2+11x-2 = 6(x - \frac{1}{6})(x - (-2)) = (6x-1)(x+2) $$

Подставим разложенный знаменатель обратно в исходное выражение:$$ \frac{1}{x+2} - \frac{x^2+10x+3}{(6x-1)(x+2)} $$

Общим знаменателем является выражение $(6x-1)(x+2)$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на множитель $(6x-1)$:$$ \frac{1 \cdot (6x-1)}{(x+2)(6x-1)} - \frac{x^2+10x+3}{(6x-1)(x+2)} $$

Выполним вычитание дробей, записав их под общим знаменателем:$$ \frac{(6x-1) - (x^2+10x+3)}{(6x-1)(x+2)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:$$ \frac{6x - 1 - x^2 - 10x - 3}{(6x-1)(x+2)} = \frac{-x^2 - 4x - 4}{(6x-1)(x+2)} $$

Вынесем знак "минус" за скобки в числителе:$$ \frac{-(x^2 + 4x + 4)}{(6x-1)(x+2)} $$

Выражение в скобках $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы $(x+2)^2$. Подставим это в дробь:$$ \frac{-(x+2)^2}{(6x-1)(x+2)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$, при условии что $x \neq -2$:$$ \frac{-(x+2)^{\cancel{2}}}{(6x-1)\cancel{(x+2)}} = \frac{-(x+2)}{6x-1} $$

Окончательное упрощенное выражение:$$ -\frac{x+2}{6x-1} $$

Ответ: $$-\frac{x+2}{6x-1}$$