Номер 4, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Сократите дробь:

1) $\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}$;

2) $\frac{2 + x - 3x^2}{2x^2 - 5x + 3}$.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $16x^2 - 24x + 9$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 4x$ и $b = 3$.
$16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$.

Знаменатель $4x^2 + 5x - 6$ — это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем его корни, решив квадратное уравнение $4x^2 + 5x - 6 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Теперь разложим знаменатель на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$4x^2 + 5x - 6 = 4(x - (-2))(x - \frac{3}{4}) = 4(x + 2)(x - \frac{3}{4}) = (x+2)(4x-3)$.

Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $(4x-3)$:
$\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6} = \frac{(4x - 3)^2}{(x+2)(4x-3)} = \frac{4x - 3}{x+2}$.

Ответ: $\frac{4x-3}{x+2}$.

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{2 + x - 3x^2}{2x^2 - 5x + 3}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим на множители числитель $2 + x - 3x^2$. Для удобства запишем его в стандартном виде: $-3x^2 + x + 2$. Найдем корни уравнения $-3x^2 + x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot (-3)} = \frac{-6}{-6} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$
Разложим числитель на множители:
$-3x^2 + x + 2 = -3(x - 1)(x - (-\frac{2}{3})) = -3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) = -(x-1)(3x+2)$.

Разложим на множители знаменатель $2x^2 - 5x + 3$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Разложим знаменатель на множители:
$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - \frac{3}{2}) = (x-1)(2x-3)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(x-1)$:
$\frac{2 + x - 3x^2}{2x^2 - 5x + 3} = \frac{-(x-1)(3x+2)}{(x-1)(2x-3)} = \frac{-(3x+2)}{2x-3} = \frac{3x+2}{-(2x-3)} = \frac{3x+2}{3-2x}$.

Ответ: $\frac{3x+2}{3-2x}$.