Номер 2, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какой из данных квадратных трёхчленов нельзя разложить на линейные множители?

1) $x^2 + 6x - 15$

2) $0,6x^2 - 8x - 5$

3) $x^2 + 4x + 6$

4) $16x - 6x^2$

Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни. Наличие действительных корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни, и трёхчлен можно разложить на линейные множители.
• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 6x - 15$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -15$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96$.

Так как $D = 96 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно разложить.

2) $0,6x^2 - 8x - 5$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 0,6$, $b = -8$, $c = -5$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 0,6 \cdot (-5) = 64 + 12 = 76$.

Так как $D = 76 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, и его можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно разложить.

3) $x^2 + 4x + 6$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = 6$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.

Так как $D = -8 < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители.

Ответ: нельзя разложить.

4) $16x - 6x^2$

Это неполный квадратный трёхчлен. Запишем его в стандартном виде: $-6x^2 + 16x$.

Его можно разложить на множители, вынеся общий множитель за скобки: $2x(8 - 3x)$. Это уже является разложением на линейные множители.

Также можно проверить через дискриминант, приняв $c=0$. Коэффициенты: $a = -6$, $b = 16$, $c = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 0 = 256 - 0 = 256$.

Так как $D = 256 > 0$, выражение можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно разложить.

Таким образом, единственный квадратный трёхчлен из предложенных, который нельзя разложить на линейные множители, это $x^2 + 4x + 6$, так как его дискриминант отрицателен.

Ответ: 3