Номер 5, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Упростите выражение $ \frac{1}{x-2} - \frac{x^2+x+3}{5x^2-11x+2} $

Чтобы упростить выражение, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Для этого начнем с разложения на множители знаменателя второй дроби $5x^2 - 11x + 2$.

Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь мы можем представить квадратный трехчлен в виде произведения множителей:

$5x^2 - 11x + 2 = 5(x - 2)(x - \frac{1}{5}) = (x - 2)(5x - 1)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$\frac{1}{x-2} - \frac{x^2+x+3}{(x-2)(5x-1)}$

Общим знаменателем является выражение $(x-2)(5x-1)$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(5x-1)$:

$\frac{1 \cdot (5x-1)}{(x-2)(5x-1)} - \frac{x^2+x+3}{(x-2)(5x-1)}$

Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем:

$\frac{(5x-1) - (x^2+x+3)}{(x-2)(5x-1)} = \frac{5x-1-x^2-x-3}{(x-2)(5x-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-x^2 + 4x - 4}{(x-2)(5x-1)}$

Вынесем знак "-" за скобки в числителе, чтобы упростить его дальнейшее разложение:

$\frac{-(x^2 - 4x + 4)}{(x-2)(5x-1)}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-2)^2$.

$\frac{-(x-2)^2}{(x-2)(5x-1)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-(x-2)}{5x-1}$

Раскроем скобки в числителе, чтобы получить окончательный вид:

$\frac{-x+2}{5x-1} = \frac{2-x}{5x-1}$

Ответ: $\frac{2-x}{5x-1}$