Страница 92 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какой из данных многочленов не является квадратным трёхчленом?

1) $x^2 - 11x + 19$

2) $\frac{3}{8}x - \frac{1}{12}x^2 + 3$

3) $x^2 - 5x^3 + 6$

4) $36x^2 - 49$

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Таким образом, чтобы многочлен был квадратным трёхчленом, он должен одновременно удовлетворять двум условиям: во-первых, его старшая степень должна быть равна 2 (признак "квадратный"), и во-вторых, он должен состоять ровно из трёх слагаемых или членов (признак "трёхчлен").

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $x^2 - 11x + 19$

Этот многочлен имеет старшую степень 2 (определяется слагаемым $x^2$) и состоит из трёх членов ($x^2$, $-11x$, $19$). Следовательно, он полностью соответствует определению и является квадратным трёхчленом.

2) $\frac{3}{8}x - \frac{1}{12}x^2 + 3$

Этот многочлен также имеет старшую степень 2 (определяется слагаемым $-\frac{1}{12}x^2$) и состоит из трёх членов ($-\frac{1}{12}x^2$, $\frac{3}{8}x$, $3$). Следовательно, он также является квадратным трёхчленом.

3) $x^2 - 5x^3 + 6$

Этот многочлен состоит из трёх членов, но его старшая степень равна 3 (определяется слагаемым $-5x^3$). Поскольку степень многочлена не равна 2, он не является квадратным. Следовательно, это не квадратный трёхчлен.

4) $36x^2 - 49$

Этот многочлен имеет старшую степень 2 (определяется слагаемым $36x^2$), то есть он является квадратным. Однако он состоит только из двух членов ($36x^2$ и $-49$), поэтому он не является трёхчленом, а является двучленом (биномом). Следовательно, это не квадратный трёхчлен.

Итак, мы выяснили, что два многочлена не являются квадратными трёхчленами: №3 (потому что он не квадратный) и №4 (потому что он не трёхчлен). В задачах с выбором одного варианта ответа, как правило, предполагается найти наиболее существенное несоответствие. Степень многочлена (квадратный, кубический и т.д.) является его основной классификационной характеристикой. Многочлен $x^2 - 5x^3 + 6$ является кубическим, что фундаментально отличает его от квадратных многочленов. Поэтому многочлен со степенью 3 является наиболее очевидным ответом, не соответствующим определению.

Ответ: 3

2. Какой из данных квадратных трёхчленов нельзя разложить на линейные множители?

1) $x^2 + 6x - 15$

2) $0,6x^2 - 8x - 5$

3) $x^2 + 4x + 6$

4) $16x - 6x^2$

Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни. Наличие действительных корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни, и трёхчлен можно разложить на линейные множители.
• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 6x - 15$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -15$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96$.

Так как $D = 96 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно разложить.

2) $0,6x^2 - 8x - 5$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 0,6$, $b = -8$, $c = -5$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 0,6 \cdot (-5) = 64 + 12 = 76$.

Так как $D = 76 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, и его можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно разложить.

3) $x^2 + 4x + 6$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = 6$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.

Так как $D = -8 < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители.

Ответ: нельзя разложить.

4) $16x - 6x^2$

Это неполный квадратный трёхчлен. Запишем его в стандартном виде: $-6x^2 + 16x$.

Его можно разложить на множители, вынеся общий множитель за скобки: $2x(8 - 3x)$. Это уже является разложением на линейные множители.

Также можно проверить через дискриминант, приняв $c=0$. Коэффициенты: $a = -6$, $b = 16$, $c = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 0 = 256 - 0 = 256$.

Так как $D = 256 > 0$, выражение можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно разложить.

Таким образом, единственный квадратный трёхчлен из предложенных, который нельзя разложить на линейные множители, это $x^2 + 4x + 6$, так как его дискриминант отрицателен.

Ответ: 3

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 16x + 60$;

2) $12x^2 + 4x - 1$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 16x + 60 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=16, c=60$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 - 4}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

$x_2 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 + 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Теперь подставим найденные корни $x_1 = -10$ и $x_2 = -6$ в формулу разложения:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$x^2 + 16x + 60 = 1 \cdot (x - (-10))(x - (-6)) = (x + 10)(x + 6)$.

Ответ: $(x + 10)(x + 6)$.

Найдём корни квадратного уравнения $12x^2 + 4x - 1 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=12, b=4, c=-1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{-4 - 8}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{-4 + 8}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Теперь подставим найденные корни $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{6}$ в формулу разложения:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$12x^2 + 4x - 1 = 12\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x - \frac{1}{6}\right) = 12\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{6}\right)$.

Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, внесём множитель $12$ (представив его как $2 \cdot 6$) в скобки:

$12\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{6}\right) = \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(6\left(x - \frac{1}{6}\right)\right) = (2x + 1)(6x - 1)$.

Ответ: $(2x + 1)(6x - 1)$.

4. Сократите дробь:

1) $\frac{9x^2 - 42x + 49}{3x^2 - x - 14}$;

2) $\frac{4x^2 + 3x - 1}{1 - 5x - 6x^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2 - 42x + 49}{3x^2 - x - 14}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $9x^2 - 42x + 49$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = 3x$ и $b = 7$, так как $(3x)^2 = 9x^2$, $7^2 = 49$, и удвоенное произведение $2 \cdot 3x \cdot 7 = 42x$.
Таким образом, числитель равен $(3x - 7)^2$.

Знаменатель $3x^2 - x - 14$ является квадратным трехчленом. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - x - 14 = 0$ по формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.
Следовательно, разложение знаменателя на множители: $3(x - \frac{7}{3})(x - (-2)) = (3x - 7)(x + 2)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(3x - 7)$:
$\frac{9x^2 - 42x + 49}{3x^2 - x - 14} = \frac{(3x-7)^2}{(3x-7)(x+2)} = \frac{3x-7}{x+2}$.

Ответ: $\frac{3x-7}{x+2}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{4x^2 + 3x - 1}{1 - 5x - 6x^2}$ также разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель $4x^2 + 3x - 1$, найдя корни уравнения $4x^2 + 3x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.
Разложение числителя: $4(x - \frac{1}{4})(x - (-1)) = (4x - 1)(x + 1)$.

Разложим знаменатель $1 - 5x - 6x^2$. Перепишем его в стандартном виде $-6x^2 - 5x + 1$ и найдем корни уравнения $-6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 1 = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot (-6)} = \frac{12}{-12} = -1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot (-6)} = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6}$.
Разложение знаменателя: $-6(x - (-1))(x - \frac{1}{6}) = -6(x + 1)(x - \frac{1}{6}) = (x+1) \cdot (-6(x - \frac{1}{6})) = (x+1)(1-6x)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x + 1)$:
$\frac{4x^2 + 3x - 1}{1 - 5x - 6x^2} = \frac{(4x - 1)(x + 1)}{(1-6x)(x + 1)} = \frac{4x-1}{1-6x}$.

Ответ: $\frac{4x-1}{1-6x}$.

5. Упростите выражение $ \frac{1}{x-2} - \frac{x^2+x+3}{5x^2-11x+2} $

Чтобы упростить выражение, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Для этого начнем с разложения на множители знаменателя второй дроби $5x^2 - 11x + 2$.

Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь мы можем представить квадратный трехчлен в виде произведения множителей:

$5x^2 - 11x + 2 = 5(x - 2)(x - \frac{1}{5}) = (x - 2)(5x - 1)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$\frac{1}{x-2} - \frac{x^2+x+3}{(x-2)(5x-1)}$

Общим знаменателем является выражение $(x-2)(5x-1)$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(5x-1)$:

$\frac{1 \cdot (5x-1)}{(x-2)(5x-1)} - \frac{x^2+x+3}{(x-2)(5x-1)}$

Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем:

$\frac{(5x-1) - (x^2+x+3)}{(x-2)(5x-1)} = \frac{5x-1-x^2-x-3}{(x-2)(5x-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-x^2 + 4x - 4}{(x-2)(5x-1)}$

Вынесем знак "-" за скобки в числителе, чтобы упростить его дальнейшее разложение:

$\frac{-(x^2 - 4x + 4)}{(x-2)(5x-1)}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-2)^2$.

$\frac{-(x-2)^2}{(x-2)(5x-1)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-(x-2)}{5x-1}$

Раскроем скобки в числителе, чтобы получить окончательный вид:

$\frac{-x+2}{5x-1} = \frac{2-x}{5x-1}$

Ответ: $\frac{2-x}{5x-1}$