Страница 94 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых уравнений не является биквадратным?

1) $x^4 + 16x^2 - 25 = 0$

2) $x^4 - 10x^2 = 0$

3) $x^4 - 16x^2 + 15 = 0$

4) $x^4 + 2x - 3 = 0$

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Его ключевая особенность в том, что оно содержит переменную только в четных степенях (четвертой и второй) и свободный член. Такое уравнение можно свести к квадратному с помощью замены $y = x^2$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) Уравнение $x^4 + 16x^2 - 25 = 0$.
Это уравнение полностью соответствует общей форме биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где коэффициенты равны $a=1$, $b=16$ и $c=-25$. Следовательно, это биквадратное уравнение.

2) Уравнение $x^4 - 10x^2 = 0$.
Это уравнение также соответствует общей форме биквадратного уравнения. В данном случае это неполное биквадратное уравнение, где коэффициенты равны $a=1$, $b=-10$ и $c=0$. Оно является биквадратным.

3) Уравнение $x^4 - 16x^2 + 15 = 0$.
Это уравнение является классическим примером биквадратного уравнения. Оно имеет вид $ax^4 + bx^2 + c = 0$ при $a=1$, $b=-16$ и $c=15$.

4) Уравнение $x^4 + 2x - 3 = 0$.
Это уравнение не является биквадратным. Оно содержит член $2x$, то есть переменную в первой степени. В биквадратном уравнении могут присутствовать только четные степени переменной ($x^4$ и $x^2$). Из-за наличия слагаемого $2x$ данное уравнение нельзя привести к квадратному с помощью стандартной замены $y = x^2$.

Таким образом, единственное уравнение из списка, которое не является биквадратным, — это $x^4 + 2x - 3 = 0$.
Ответ: 4) $x^4 + 2x - 3 = 0$.

2. Укажите множество корней уравнения

$\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9} = 0.$

1) $\{-4, -3\}$

2) $\{-4\}$

3) $\{-3\}$

4) $\emptyset$

Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы ее числитель был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 7x + 12 = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы (числитель):

$x^2 + 7x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, числитель обращается в ноль при $x = -3$ и $x = -4$.

2. Проверим второе условие системы (знаменатель):

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, и исключим их.

$x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

3. Выберем корни, удовлетворяющие ОДЗ:

Мы получили два потенциальных корня из числителя: $-3$ и $-4$.

• Проверяем корень $x = -4$. Он удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 \neq 3$ и $-4 \neq -3$. Значит, $x = -4$ является корнем уравнения.
• Проверяем корень $x = -3$. Он не удовлетворяет ОДЗ, так как знаменатель при $x = -3$ обращается в ноль. Значит, $x = -3$ не является корнем уравнения (это посторонний корень).

Единственным корнем уравнения является $x = -4$. Множество корней уравнения состоит из одного элемента: $\{-4\}$.

Среди предложенных вариантов ответа это вариант номер 2.

Ответ: $\{-4\}$

3. Решите уравнение:

1) $x^4 - 14x^2 + 45 = 0$;

2) $\frac{2x^2 - 4x + 7}{x + 4} = x$;

3) $\frac{x}{x - 5} + \frac{x - 5}{x + 5} = \frac{35 - 13x}{x^2 - 25}$;

4) $\frac{1}{(x - 6)^2} - \frac{3}{x - 6} - 10 = 0$.

1) $x^4 - 14x^2 + 45 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 14t + 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

$t_1 + t_2 = 14$

$t_1 \cdot t_2 = 45$

Подбираем корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $x^2 = 5 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$

2. $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{9} = \pm3$

Ответ: $-\sqrt{5}; -3; 3; \sqrt{5}$.

2) $\frac{2x^2 - 4x + 7}{x + 4} = x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$

Умножим обе части уравнения на $(x+4)$ при условии, что $x \neq -4$:

$2x^2 - 4x + 7 = x(x + 4)$

$2x^2 - 4x + 7 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - x^2 - 4x - 4x + 7 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 8$

$x_1 \cdot x_2 = 7$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -4$).

Ответ: 1; 7.

3) $\frac{x}{x - 5} + \frac{x - 5}{x + 5} = \frac{35 - 13x}{x^2 - 25}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \neq 0 \implies x \neq \pm5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{(x-5)(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{35 - 13x}{(x-5)(x+5)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-5)(x+5)$, учитывая ОДЗ:

$x(x+5) + (x-5)^2 = 35 - 13x$

Раскроем скобки:

$x^2 + 5x + x^2 - 10x + 25 = 35 - 13x$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 5x + 25 = 35 - 13x$

Перенесем все в левую часть:

$2x^2 - 5x + 13x + 25 - 35 = 0$

$2x^2 + 8x - 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq \pm5$). Корень $x_2 = -5$ является посторонним, так как обращает знаменатель в ноль. Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1.

4) $\frac{1}{(x - 6)^2} - \frac{3}{x - 6} - 10 = 0$

Найдем ОДЗ: $x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{x-6}$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\frac{1}{x-6} = 5 \implies 1 = 5(x-6) \implies 1 = 5x - 30 \implies 5x = 31 \implies x = \frac{31}{5} = 6.2$

2. $\frac{1}{x-6} = -2 \implies 1 = -2(x-6) \implies 1 = -2x + 12 \implies 2x = 11 \implies x = \frac{11}{2} = 5.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 6$).

Ответ: 5.5; 6.2.