Страница 96 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых уравнений не является биквадратным?

1) $x^4 - 9x^2 + 6 = 0$

2) $x^4 + 36 = 0$

3) $x^4 + 7x^2 - 3 = 0$

4) $x^4 - 7x^3 + 6 = 0$

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Характерной чертой биквадратного уравнения является наличие переменной только в четных степенях: четвертой ($x^4$) и второй ($x^2$), а также свободного члена (что соответствует нулевой степени переменной). Уравнение не должно содержать нечетных степеней переменной ($x^3, x$).

Рассмотрим каждое из предложенных уравнений:

1) $x^4 - 9x^2 + 6 = 0$
Это уравнение полностью соответствует стандартному виду биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a=1$, $b=-9$ и $c=6$. Все степени переменной ($x^4$ и $x^2$) четные. Следовательно, это биквадратное уравнение.

2) $x^4 + 36 = 0$
Это уравнение является неполным биквадратным уравнением. Оно соответствует виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a=1$, $b=0$ и $c=36$. Отсутствие члена с $x^2$ не нарушает определение, так как нечетных степеней нет. Следовательно, это биквадратное уравнение.

3) $x^4 + 7x^2 - 3 = 0$
Это уравнение также соответствует стандартному виду биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a=1$, $b=7$ и $c=-3$. Все степени переменной четные. Следовательно, это биквадратное уравнение.

4) $x^4 - 7x^3 + 6 = 0$
Это уравнение содержит член $-7x^3$, в котором переменная $x$ находится в нечетной степени (в третьей степени). Наличие нечетной степени переменной означает, что уравнение не может быть сведено к квадратному заменой $y=x^2$ и, следовательно, не является биквадратным.

Таким образом, единственное уравнение из списка, которое не является биквадратным, это уравнение под номером 4.
Ответ: 4

2. Укажите множество корней уравнения

$\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 6x + 5} = 0.$

1) $\{-5, -1\}$

2) $\{-5\}$

3) $\{-1\}$

4) $\emptyset$

Чтобы решить данное рациональное уравнение, необходимо найти значения переменной $x$, при которых числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы: $$ \begin{cases} x^2 + 10x + 25 = 0, \\ x^2 + 6x + 5 \neq 0. \end{cases} $$

Сначала решим первое уравнение системы: $x^2 + 10x + 25 = 0$.
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы, так как $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2$.
Уравнение принимает вид: $$ (x+5)^2 = 0 $$ Отсюда следует, что $x+5 = 0$, то есть $x = -5$.

Теперь проверим второе условие системы, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 + 6x + 5 \neq 0$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -6 \\ x_1 \cdot x_2 = 5 \end{cases} $$ Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Следовательно, область допустимых значений: $x \neq -1$ и $x \neq -5$.

Сопоставим результаты. Единственный корень числителя $x = -5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это означает, что $x = -5$ является посторонним корнем.

Поскольку других корней у числителя нет, исходное уравнение не имеет решений. Множество корней уравнения пусто.

Ответ: $\emptyset$

3. Решите уравнение:

1) $x^4 + 6x^2 - 27 = 0;$

2) $\frac{3}{x} + \frac{3}{x + 2} = 4;$

3) $\frac{8}{x^2 - 6x + 8} + \frac{3x - 1}{x - 2} = \frac{4}{x - 4};$

4) $(x^2 - 3x + 6)(x^2 - 3x - 8) + 40 = 0.$

1) $x^4 + 6x^2 - 27 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 + 6y - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Корень $y_1 = -9$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене для $y_2 = 3$:

$x^2 = 3$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \sqrt{3}$

$x_2 = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

2) $\frac{3}{x} + \frac{3}{x+2} = 4$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю.

$x \ne 0$ и $x + 2 \ne 0$, то есть $x \ne -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{3(x+2) + 3x}{x(x+2)} = 4$

$\frac{3x + 6 + 3x}{x^2 + 2x} = 4$

$\frac{6x + 6}{x^2 + 2x} = 4$

Умножим обе части на $x^2 + 2x$ (с учетом ОДЗ):

$6x + 6 = 4(x^2 + 2x)$

$6x + 6 = 4x^2 + 8x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$4x^2 + 8x - 6x - 6 = 0$

$4x^2 + 2x - 6 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0$ и $x \ne -2$).

Ответ: $-1,5; 1$.

3) $\frac{8}{x^2 - 6x + 8} + \frac{3x - 1}{x - 2} = \frac{4}{x - 4}$

Найдем ОДЗ. Разложим знаменатель $x^2 - 6x + 8$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета равны 2 и 4. Таким образом, $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.

Знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно, $x \ne 2$ и $x \ne 4$.

Перепишем уравнение:

$\frac{8}{(x-2)(x-4)} + \frac{3x - 1}{x - 2} = \frac{4}{x - 4}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x-4)$:

$8 + (3x - 1)(x - 4) = 4(x - 2)$

Раскроем скобки:

$8 + 3x^2 - 12x - x + 4 = 4x - 8$

$3x^2 - 13x + 12 = 4x - 8$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 - 13x - 4x + 12 + 8 = 0$

$3x^2 - 17x + 20 = 0$

Решим уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 - 240 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = \frac{5}{3}$ удовлетворяет условиям $x \ne 2$ и $x \ne 4$. Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \ne 4$, и является посторонним.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

4) $(x^2 - 3x + 6)(x^2 - 3x - 8) + 40 = 0$

В уравнении есть повторяющееся выражение $x^2 - 3x$. Введем замену: пусть $t = x^2 - 3x$.

Уравнение примет вид:

$(t + 6)(t - 8) + 40 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 - 8t + 6t - 48 + 40 = 0$

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 - 3x = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

2) $x^2 - 3x = -2$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = 2$ и $x_4 = 1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 1; 2; 4$.