Страница 102 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $\frac{ay - ax}{by - bx}$

Б) $\frac{ax - bx}{a^2 - ab}$

В) $\frac{bx - by}{ay - ax}$

Тождественно равное выражение

1) $\frac{a}{b}$

2) $\frac{b}{a}$

3) $-\frac{b}{a}$

4) $\frac{x}{a}$

5) $\frac{a}{x}$

Для установления соответствия необходимо упростить каждое выражение из левого столбца.

А)

Рассмотрим выражение $\frac{ay - ax}{by - bx}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $a$: $ay - ax = a(y - x)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $by - bx = b(y - x)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{a(y - x)}{b(y - x)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(y - x)$. В результате получим $\frac{a}{b}$.

Это выражение соответствует варианту 1) из правого столбца.

Ответ: 1

Б)

Рассмотрим выражение $\frac{ax - bx}{a^2 - ab}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$: $ax - bx = x(a - b)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$: $a^2 - ab = a(a - b)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{x(a - b)}{a(a - b)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$. В результате получим $\frac{x}{a}$.

Это выражение соответствует варианту 4) из правого столбца.

Ответ: 4

В)

Рассмотрим выражение $\frac{bx - by}{ay - ax}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $b$: $bx - by = b(x - y)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$: $ay - ax = a(y - x)$.

3. Исходная дробь примет вид: $\frac{b(x - y)}{a(y - x)}$.

4. Заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе являются противоположными, то есть $x - y = -(y - x)$. Вынесем знак минус в числителе: $\frac{-b(y - x)}{a(y - x)}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(y - x)$. В результате получим $-\frac{b}{a}$.

Это выражение соответствует варианту 3) из правого столбца.

Ответ: 3

7. Сократите дробь $\frac{2ab}{ab + 2a^2}$.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить на них числитель и знаменатель.

Исходная дробь: $\frac{2ab}{ab + 2a^2}$.

Числитель дроби, $2ab$, уже представлен в виде произведения множителей $2$, $a$ и $b$.

Знаменатель дроби, $ab + 2a^2$, представляет собой сумму. Чтобы найти множители, вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для слагаемых $ab$ и $2a^2$ является $a$.

$ab + 2a^2 = a(b + 2a)$

Теперь перепишем исходную дробь с разложенным на множители знаменателем:

$\frac{2ab}{a(b + 2a)}$

Видно, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $a$. Сократим дробь на $a$:

$\frac{2ab}{a(b + 2a)} = \frac{2b}{b + 2a}$

Дальнейшее сокращение невозможно, так как в числителе и знаменателе больше нет общих множителей.

Ответ: $\frac{2b}{b + 2a}$

8. Найдите значение выражения $ \frac{b^2 - 1}{5b^2 + 5b} $, если $ b = -2 $.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений и возможных ошибок.

Исходное выражение: $\frac{b^2 - 1}{5b^2 + 5b}$

1. Разложим числитель на множители. Числитель $b^2 - 1$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$

2. Разложим на множители знаменатель. В выражении $5b^2 + 5b$ можно вынести за скобки общий множитель $5b$:

$5b^2 + 5b = 5b(b + 1)$

3. Теперь запишем всё выражение с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{(b - 1)(b + 1)}{5b(b + 1)}$

4. Сократим дробь на общий множитель $(b + 1)$. Это действие допустимо, так как по условию $b = -2$, следовательно, $b + 1 = -2 + 1 = -1 \neq 0$.

$\frac{(b - 1)\cancel{(b + 1)}}{5b\cancel{(b + 1)}} = \frac{b - 1}{5b}$

5. Подставим значение $b = -2$ в полученное упрощенное выражение:

$\frac{-2 - 1}{5 \cdot (-2)} = \frac{-3}{-10}$

6. Вычислим окончательный результат. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число:

$\frac{-3}{-10} = \frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: 0,3

9. Выполните вычитание: $ \frac{24}{x-4} - \frac{6x}{x-4} $

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Исходное выражение: $\frac{24}{x-4} - \frac{6x}{x-4}$

Поскольку знаменатели у обеих дробей одинаковы и равны $(x-4)$, объединяем их в одну дробь, вычитая числители:

$\frac{24 - 6x}{x-4}$

Далее, упростим полученное выражение. В числителе можно вынести за скобки общий множитель 6:

$24 - 6x = 6(4 - x)$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{6(4 - x)}{x-4}$

Выражения в скобках в числителе $(4 - x)$ и в знаменателе $(x - 4)$ являются противоположными. Можно представить $(4 - x)$ как $-(x - 4)$.

$\frac{6 \cdot (-(x - 4))}{x-4} = \frac{-6(x - 4)}{x-4}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x - 4)$, при условии, что $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

$\frac{-6\cancel{(x - 4)}}{\cancel{(x - 4)}} = -6$

Ответ: -6

10. Выполните сложение: $\frac{3m}{4m-4} + \frac{6m}{5-5m}$.

Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{3m}{4m - 4} + \frac{6m}{5 - 5m}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Для начала упростим знаменатели, вынеся общий множитель за скобки.

1. Упростим знаменатель первой дроби:

$4m - 4 = 4(m - 1)$

2. Упростим знаменатель второй дроби. Заметим, что $5 - 5m$ можно преобразовать так, чтобы получить выражение $(m-1)$:

$5 - 5m = 5(1 - m) = -5(m - 1)$

3. Теперь перепишем исходное выражение с новыми знаменателями:

$\frac{3m}{4(m - 1)} + \frac{6m}{-5(m - 1)}$

Вынесем знак "минус" из знаменателя второй дроби перед самой дробью:

$\frac{3m}{4(m - 1)} - \frac{6m}{5(m - 1)}$

4. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ) для получившихся дробей. НОЗ для $4(m - 1)$ и $5(m - 1)$ равен $4 \cdot 5 \cdot (m - 1) = 20(m - 1)$.

5. Приведём дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен 5, а для второй — 4:

$\frac{3m \cdot 5}{20(m - 1)} - \frac{6m \cdot 4}{20(m - 1)} = \frac{15m}{20(m - 1)} - \frac{24m}{20(m - 1)}$

6. Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{15m - 24m}{20(m - 1)} = \frac{-9m}{20(m - 1)}$

Полученный результат можно записать, вынеся знак "минус" перед дробью.

Ответ: $-\frac{9m}{20(m - 1)}$

11. Представьте в виде дроби выражение $ \frac{8x^2}{2x-5} - 4x. $

Чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. Исходное выражение:

$$ \frac{8x^2}{2x-5} - 4x $$

Общий знаменатель для дроби $ \frac{8x^2}{2x-5} $ и выражения $ 4x $ (которое можно представить как $ \frac{4x}{1} $) будет $ 2x-5 $.

Приведем вторую часть выражения, $ 4x $, к знаменателю $ 2x-5 $. Для этого умножим и разделим $ 4x $ на $ (2x-5) $:

$$ 4x = \frac{4x(2x-5)}{2x-5} $$

Раскроем скобки в числителе полученной дроби:

$$ \frac{4x \cdot 2x - 4x \cdot 5}{2x-5} = \frac{8x^2 - 20x}{2x-5} $$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное:

$$ \frac{8x^2}{2x-5} - \frac{8x^2 - 20x}{2x-5} $$

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$$ \frac{8x^2 - (8x^2 - 20x)}{2x-5} $$

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак "минус" перед скобкой:

$$ \frac{8x^2 - 8x^2 + 20x}{2x-5} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($ 8x^2 - 8x^2 = 0 $):

$$ \frac{20x}{2x-5} $$

Ответ: $ \frac{20x}{2x-5} $

12. Найдите значение выражения $\frac{1}{a} - \frac{a^2 - 25}{5a} + \frac{a}{5}$, если $a = \frac{1}{6}$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $\frac{1}{a} - \frac{a^2 - 25}{5a} + \frac{a}{5}$

Общим знаменателем для дробей является $5a$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю:

$\frac{1 \cdot 5}{a \cdot 5} - \frac{a^2 - 25}{5a} + \frac{a \cdot a}{5 \cdot a} = \frac{5}{5a} - \frac{a^2 - 25}{5a} + \frac{a^2}{5a}$

Теперь выполним сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{5 - (a^2 - 25) + a^2}{5a} = \frac{5 - a^2 + 25 + a^2}{5a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5 + 25) + (-a^2 + a^2)}{5a} = \frac{30}{5a}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{30}{5a} = \frac{6}{a}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $a = \frac{1}{6}$:

$\frac{6}{a} = \frac{6}{\frac{1}{6}} = 6 \cdot \frac{6}{1} = 36$

Ответ: 36