Страница 105 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $ \frac{6+4c}{c} $, если $ c=0,6 $?

1) 14

2) 1,4

3) 5

4) 0,5

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{6 + 4c}{c}$, необходимо подставить в него заданное значение $c = 0,6$.

Выполним подстановку:

$\frac{6 + 4 \cdot 0,6}{0,6}$

Теперь вычислим значение по действиям:

1. Сначала выполним умножение в числителе:

$4 \cdot 0,6 = 2,4$

2. Затем выполним сложение в числителе:

$6 + 2,4 = 8,4$

3. Теперь выражение приняло вид:

$\frac{8,4}{0,6}$

4. Выполним деление. Чтобы упростить вычисление, можно умножить и числитель, и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\frac{8,4 \cdot 10}{0,6 \cdot 10} = \frac{84}{6}$

$84 \div 6 = 14$

Таким образом, значение выражения равно 14. Это соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 14

2. Какая из приведённых пар значений переменных a и b является недопустимой для выражения $ \frac{a^2 - 4ab + b^2}{a - 3b} $?

1) $a = 3, b = 3$

2) $a = 9, b = -3$

3) $a = -6, b = -2$

4) $a = -3, b = 1$

Недопустимыми значениями переменных для алгебраической дроби являются те, при которых ее знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль не определено.

Знаменатель данного выражения $\frac{a^2 - 4ab + b^2}{a - 3b}$ равен $a - 3b$.

Найдем условие, при котором знаменатель равен нулю:

$a - 3b = 0$

Отсюда следует, что недопустимые значения удовлетворяют равенству $a = 3b$.

Теперь проверим каждую из предложенных пар значений, чтобы найти ту, которая соответствует этому условию.

1) a = 3, b = 3
Проверяем, выполняется ли равенство $a = 3b$:
$3 = 3 \cdot 3$
$3 = 9$
Равенство неверно. Эта пара значений является допустимой.

2) a = 9, b = -3
Проверяем, выполняется ли равенство $a = 3b$:
$9 = 3 \cdot (-3)$
$9 = -9$
Равенство неверно. Эта пара значений является допустимой.

3) a = -6, b = -2
Проверяем, выполняется ли равенство $a = 3b$:
$-6 = 3 \cdot (-2)$
$-6 = -6$
Равенство верно. Следовательно, при этих значениях знаменатель обращается в ноль, и эта пара является недопустимой.

4) a = -3, b = 1
Проверяем, выполняется ли равенство $a = 3b$:
$-3 = 3 \cdot 1$
$-3 = 3$
Равенство неверно. Эта пара значений является допустимой.

Таким образом, единственной недопустимой парой значений является та, что указана в пункте 3.

Ответ: 3.

3. Сократите дробь $\frac{45b^6}{36b^3}$.

1) $\frac{5}{4b^2}$

2) $\frac{5}{4b^3}$

3) $\frac{5b^2}{4}$

4) $\frac{5b^3}{4}$

Чтобы сократить дробь $\frac{45b^6}{36b^3}$, необходимо отдельно сократить числовые коэффициенты и степенные выражения с переменной.

1. Сократим числовой коэффициент $\frac{45}{36}$. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для числителя 45 и знаменателя 36. НОД(45, 36) = 9. Теперь разделим числитель и знаменатель на 9:
$\frac{45}{36} = \frac{45 \div 9}{36 \div 9} = \frac{5}{4}$.

2. Сократим переменную часть $\frac{b^6}{b^3}$. Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{b^6}{b^3} = b^{6-3} = b^3$.

3. Объединим полученные результаты:
$\frac{45b^6}{36b^3} = \frac{5}{4} \cdot b^3 = \frac{5b^3}{4}$.

Таким образом, после сокращения мы получили дробь $\frac{5b^3}{4}$, что соответствует варианту ответа под номером 4).

Ответ: 4

4. Приведите дробь $\frac{m+1}{m-4}$ к знаменателю $m^2 - 4m$.

1) $\frac{m+1}{m^2 - 4m}$

2) $\frac{m^2 - m}{m^2 - 4m}$

3) $\frac{m^2 + m}{m^2 - 4m}$

4) $\frac{m^2 + 1}{m^2 - 4m}$

Задача состоит в том, чтобы привести дробь $\frac{m+1}{m-4}$ к новому знаменателю $m^2 - 4m$. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти дополнительный множитель. Для этого нужно разделить новый знаменатель на старый. Сначала разложим новый знаменатель на множители, вынеся общий множитель $m$ за скобки:

$m^2 - 4m = m(m-4)$

2. Теперь разделим новый знаменатель на исходный:

Дополнительный множитель = $\frac{m(m-4)}{m-4} = m$.

3. Согласно основному свойству дроби, чтобы ее значение не изменилось, нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель $m$.

$\frac{m+1}{m-4} = \frac{(m+1) \cdot m}{(m-4) \cdot m}$

4. Выполним умножение в числителе и знаменателе:

В числителе: $(m+1) \cdot m = m^2 + m$

В знаменателе: $(m-4) \cdot m = m^2 - 4m$

5. В результате получаем новую дробь:

$\frac{m^2+m}{m^2-4m}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом 3).

Ответ: 3) $\frac{m^2+m}{m^2-4m}$

5. Среди приведённых графиков укажите график функ-ции $y = \frac{|x|}{x} + 2$.

1) 2) 3) 4)

Для того чтобы найти график функции $y = \frac{|x|}{x} + 2$, необходимо проанализировать ее поведение в зависимости от знака переменной $x$.

В первую очередь, заметим, что функция не определена в точке $x=0$, так как знаменатель дроби обращается в ноль. Это означает, что на графике в этой точке будет разрыв, который обозначается выколотой (пустой) точкой.

Далее, рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль $|x|$:

1. Случай 1: $x > 0$

   Если $x$ — положительное число, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:

   $y = \frac{x}{x} + 2 = 1 + 2 = 3$

   Это означает, что для всех $x > 0$ график функции представляет собой горизонтальный луч $y=3$, который начинается от оси $y$ (но не включая ее) и идет вправо.

2. Случай 2: $x < 0$

   Если $x$ — отрицательное число, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:

   $y = \frac{-x}{x} + 2 = -1 + 2 = 1$

   Это означает, что для всех $x < 0$ график функции представляет собой горизонтальный луч $y=1$, который идет слева и заканчивается у оси $y$ (но не включая ее).

Итак, искомый график должен удовлетворять следующим условиям:

• При $x > 0$ он совпадает с прямой $y=3$.
• При $x < 0$ он совпадает с прямой $y=1$.
• В точке $x=0$ функция не определена, поэтому на оси $y$ должны быть две выколотые точки: одна на уровне $y=3$, другая на уровне $y=1$.

Сравнивая эти выводы с предложенными вариантами, мы видим, что только график под номером 3 полностью соответствует описанию.

Ответ: 3