Страница 112 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Представьте в виде дроби выражение $ \frac{b^2 - 16}{3b^2} \cdot \frac{b}{4b - 16} $.

Чтобы представить данное выражение в виде дроби, выполним умножение и, по возможности, сокращение дробей. Для этого разложим на множители числители и знаменатели.

Исходное выражение:

$$ \frac{b^2 - 16}{3b^2} \cdot \frac{b}{4b - 16} $$

1. Разложим на множители числитель первой дроби $b^2 - 16$. Это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$:

$$ b^2 - 16 = b^2 - 4^2 = (b-4)(b+4) $$

2. Разложим на множители знаменатель второй дроби $4b - 16$. Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$$ 4b - 16 = 4(b-4) $$

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное произведение дробей:

$$ \frac{(b-4)(b+4)}{3b^2} \cdot \frac{b}{4(b-4)} $$

4. Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель:

$$ \frac{(b-4)(b+4)b}{3b^2 \cdot 4(b-4)} $$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $(b-4)$ и $b$:

$$ \frac{\cancel{(b-4)}(b+4)\cancel{b}}{3b^{\cancel{2}} \cdot 4\cancel{(b-4)}} = \frac{b+4}{3b \cdot 4} $$

6. Упростим знаменатель:

$$ \frac{b+4}{12b} $$

Ответ: $ \frac{b+4}{12b} $

8. Найдите значение выражения $ \frac{a - 1}{5a - 1} : \frac{a^2 - a}{25a^2 - 10a + 1} $, если $ a = \frac{1}{6} $.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Первоначальное выражение:

Операцию деления дробей заменим на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):

Далее разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. Выражение в числителе $25a^2 - 10a + 1$ является полным квадратом разности и может быть свернуто по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

В знаменателе $a^2 - a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:

Теперь подставим полученные разложения в наше выражение:

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a-1)$ и $(5a-1)$:

Мы получили упрощенное выражение. Теперь подставим в него заданное значение $a = \frac{1}{6}$:

Выполним вычисления. Сначала посчитаем значение в числителе:

Теперь разделим полученный результат на знаменатель:

Ответ: -1

9. Выполните деление: $(m+12) : \frac{m^2 + 24m + 144}{m^2 - 144}$

Для выполнения деления заменим его на умножение на обратную дробь:

$(m + 12) : \frac{m^2 + 24m + 144}{m^2 - 144} = (m + 12) \cdot \frac{m^2 - 144}{m^2 + 24m + 144}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель дроби $m^2 - 144$ раскладывается как разность квадратов ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$):

$m^2 - 144 = m^2 - 12^2 = (m - 12)(m + 12)$

Знаменатель дроби $m^2 + 24m + 144$ является полным квадратом суммы ($a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$):

$m^2 + 24m + 144 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 12 + 12^2 = (m + 12)^2$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$(m + 12) \cdot \frac{(m - 12)(m + 12)}{(m + 12)^2}$

Запишем всё под одной дробной чертой и сгруппируем множители:

$\frac{(m + 12) \cdot (m - 12) \cdot (m + 12)}{(m + 12)^2} = \frac{(m - 12) \cdot (m + 12)^2}{(m + 12)^2}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(m + 12)^2$ (при условии, что $m \neq -12$ и $m \neq 12$ из области определения исходного выражения):

$\frac{(m - 12) \cdot \cancel{(m + 12)^2}}{\cancel{(m + 12)^2}} = m - 12$

Ответ: $m - 12$.

10. Упростите выражение

$\frac{8 - \frac{3-c}{c}}{3 - \frac{1}{c}}$

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно преобразовать числитель и знаменатель основной дроби, а затем выполнить деление.

Исходное выражение:

$$ \frac{8 - \frac{3-c}{c}}{3 - \frac{1}{c}} $$

1. Преобразование числителя

Приведем выражение $8 - \frac{3-c}{c}$ к общему знаменателю $c$:

$$ 8 - \frac{3-c}{c} = \frac{8 \cdot c}{c} - \frac{3-c}{c} = \frac{8c - (3-c)}{c} = \frac{8c - 3 + c}{c} = \frac{9c - 3}{c} $$

2. Преобразование знаменателя

Аналогично приведем выражение $3 - \frac{1}{c}$ к общему знаменателю $c$:

$$ 3 - \frac{1}{c} = \frac{3 \cdot c}{c} - \frac{1}{c} = \frac{3c - 1}{c} $$

3. Деление и итоговое упрощение

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$ \frac{\frac{9c - 3}{c}}{\frac{3c - 1}{c}} $$

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую:

$$ \frac{9c - 3}{c} \cdot \frac{c}{3c - 1} $$

Сократим общий множитель $c$ (при условии, что $c \neq 0$):

$$ \frac{9c - 3}{3c - 1} $$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$$ \frac{3(3c - 1)}{3c - 1} $$

Сократим одинаковый множитель $(3c - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $3c - 1 \neq 0$, то есть $c \neq \frac{1}{3}$):

$$ 3 $$

Ответ: 3

11. Упростите выражение

$\left(4b - 4c + \frac{c^2}{b}\right) : \left(2 - \frac{c}{b}\right)$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия по порядку. Сначала упростим каждое из выражений в скобках, а затем выполним деление.

1. Упрощение первого выражения в скобках: $4b - 4c + \frac{c^2}{b}$

Приведем все члены выражения к общему знаменателю $b$:

$4b - 4c + \frac{c^2}{b} = \frac{4b \cdot b}{b} - \frac{4c \cdot b}{b} + \frac{c^2}{b} = \frac{4b^2 - 4bc + c^2}{b}$

Обратим внимание на числитель $4b^2 - 4bc + c^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a - d)^2 = a^2 - 2ad + d^2$. В нашем случае $a = 2b$ и $d = c$.

Проверим: $(2b - c)^2 = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot c + c^2 = 4b^2 - 4bc + c^2$.

Таким образом, первое выражение в скобках равно:

$\frac{(2b - c)^2}{b}$

2. Упрощение второго выражения в скобках: $2 - \frac{c}{b}$

Также приведем это выражение к общему знаменателю $b$:

$2 - \frac{c}{b} = \frac{2 \cdot b}{b} - \frac{c}{b} = \frac{2b - c}{b}$

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$\frac{(2b - c)^2}{b} : \frac{2b - c}{b}$

Деление дробей эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{(2b - c)^2}{b} \cdot \frac{b}{2b - c}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $b$ и $(2b - c)$:

$\frac{(2b - c)^{\cancel{2}}}{\cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{b}}{\cancel{2b - c}} = 2b - c$

Данное упрощение справедливо при условиях, что знаменатели исходных дробей не равны нулю, то есть $b \neq 0$ и $2 - \frac{c}{b} \neq 0$ (что эквивалентно $2b - c \neq 0$).

Ответ: $2b - c$

12. Найдите значение выражения

$(\frac{7}{y-3} - y - 3) \cdot \frac{3-y}{y^2 - 8y + 16}, \text{ если } y = 104.$

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений. Выражение состоит из двух множителей, которые мы преобразуем по отдельности.

1. Преобразуем первый множитель, находящийся в скобках: $ \left(\frac{7}{y-3} - y - 3\right) $.

Приведем все члены к общему знаменателю $ y-3 $:

$ \frac{7}{y-3} - y - 3 = \frac{7}{y-3} - (y+3) = \frac{7}{y-3} - \frac{(y+3)(y-3)}{y-3} $

Объединим дроби и применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $ к выражению $ (y-3)(y+3) $:

$ \frac{7 - (y^2 - 3^2)}{y-3} = \frac{7 - (y^2 - 9)}{y-3} = \frac{7 - y^2 + 9}{y-3} = \frac{16 - y^2}{y-3} $

2. Теперь преобразуем второй множитель: $ \frac{3-y}{y^2 - 8y + 16} $.

Знаменатель $ y^2 - 8y + 16 $ является полным квадратом разности: $ y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = (y-4)^2 $.

В числителе $ 3-y $ вынесем знак минус за скобку: $ 3-y = -(y-3) $.

Таким образом, второй множитель принимает вид: $ \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} $.

3. Теперь перемножим упрощенные множители:

$ \frac{16 - y^2}{y-3} \cdot \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} $

Разложим числитель первой дроби $ 16 - y^2 $ на множители, используя формулу разности квадратов:

$ 16 - y^2 = 4^2 - y^2 = (4-y)(4+y) $.

Подставим это в наше выражение:

$ \frac{(4-y)(4+y)}{y-3} \cdot \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} $

Заметим, что $ 4-y = -(y-4) $. Подставим это в выражение и сократим дроби:

$ \frac{-(y-4)(y+4)}{y-3} \cdot \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} = \frac{(-1) \cdot (y-4)(y+4) \cdot (-1) \cdot (y-3)}{(y-3) \cdot (y-4)^2} $

Произведение двух отрицательных знаков дает положительный. Сокращаем одинаковые множители $ (y-3) $ и $ (y-4) $:

$ \frac{(y-4)(y+4)(y-3)}{(y-3)(y-4)(y-4)} = \frac{y+4}{y-4} $

4. Мы получили упрощенное выражение $ \frac{y+4}{y-4} $. Теперь подставим в него заданное значение $ y = 104 $:

$ \frac{104 + 4}{104 - 4} = \frac{108}{100} = 1.08 $

Ответ: 1.08