Номер 12, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Найдите значение выражения

$(\frac{7}{y-3} - y - 3) \cdot \frac{3-y}{y^2 - 8y + 16}, \text{ если } y = 104.$

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений. Выражение состоит из двух множителей, которые мы преобразуем по отдельности.

1. Преобразуем первый множитель, находящийся в скобках: $ \left(\frac{7}{y-3} - y - 3\right) $.

Приведем все члены к общему знаменателю $ y-3 $:

$ \frac{7}{y-3} - y - 3 = \frac{7}{y-3} - (y+3) = \frac{7}{y-3} - \frac{(y+3)(y-3)}{y-3} $

Объединим дроби и применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $ к выражению $ (y-3)(y+3) $:

$ \frac{7 - (y^2 - 3^2)}{y-3} = \frac{7 - (y^2 - 9)}{y-3} = \frac{7 - y^2 + 9}{y-3} = \frac{16 - y^2}{y-3} $

2. Теперь преобразуем второй множитель: $ \frac{3-y}{y^2 - 8y + 16} $.

Знаменатель $ y^2 - 8y + 16 $ является полным квадратом разности: $ y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = (y-4)^2 $.

В числителе $ 3-y $ вынесем знак минус за скобку: $ 3-y = -(y-3) $.

Таким образом, второй множитель принимает вид: $ \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} $.

3. Теперь перемножим упрощенные множители:

$ \frac{16 - y^2}{y-3} \cdot \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} $

Разложим числитель первой дроби $ 16 - y^2 $ на множители, используя формулу разности квадратов:

$ 16 - y^2 = 4^2 - y^2 = (4-y)(4+y) $.

Подставим это в наше выражение:

$ \frac{(4-y)(4+y)}{y-3} \cdot \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} $

Заметим, что $ 4-y = -(y-4) $. Подставим это в выражение и сократим дроби:

$ \frac{-(y-4)(y+4)}{y-3} \cdot \frac{-(y-3)}{(y-4)^2} = \frac{(-1) \cdot (y-4)(y+4) \cdot (-1) \cdot (y-3)}{(y-3) \cdot (y-4)^2} $

Произведение двух отрицательных знаков дает положительный. Сокращаем одинаковые множители $ (y-3) $ и $ (y-4) $:

$ \frac{(y-4)(y+4)(y-3)}{(y-3)(y-4)(y-4)} = \frac{y+4}{y-4} $

4. Мы получили упрощенное выражение $ \frac{y+4}{y-4} $. Теперь подставим в него заданное значение $ y = 104 $:

$ \frac{104 + 4}{104 - 4} = \frac{108}{100} = 1.08 $

Ответ: 1.08