Номер 5, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Какому числу при всех допустимых значениях с равно значение выражения $\left(\frac{16c}{c^2 - 64} - \frac{8}{c+8}\right) : \left(\frac{7c-8}{c-8} - 7\right)$?

1) 6

2) $\frac{1}{6}$

3) -6

4) $-\frac{1}{6}$

Чтобы найти, какому числу равно значение выражения, необходимо его упростить. Будем выполнять преобразования по действиям.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной c. Знаменатели дробей в выражении не могут быть равны нулю:

$c^2 - 64 \neq 0 \implies (c - 8)(c + 8) \neq 0 \implies c \neq 8$ и $c \neq -8$.
$c + 8 \neq 0 \implies c \neq -8$.
$c - 8 \neq 0 \implies c \neq 8$.

Также необходимо, чтобы делитель не был равен нулю:

$\frac{7c - 8}{c - 8} - 7 \neq 0$
$\frac{7c - 8 - 7(c - 8)}{c - 8} \neq 0$
$\frac{7c - 8 - 7c + 56}{c - 8} \neq 0$
$\frac{48}{c - 8} \neq 0$

Это неравенство выполняется для всех c, при которых оно определено (т.е. $c \neq 8$), так как числитель 48 не равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $c \neq 8$ и $c \neq -8$.

Теперь выполним действия в скобках.

1. Упростим выражение в первых скобках (делимое):

$\frac{16c}{c^2 - 64} - \frac{8}{c + 8} = \frac{16c}{(c - 8)(c + 8)} - \frac{8(c - 8)}{(c + 8)(c - 8)} = \frac{16c - 8(c - 8)}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{16c - 8c + 64}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{8c + 64}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{8(c + 8)}{(c - 8)(c + 8)}$

Сокращая на $(c+8)$, получаем:

$\frac{8}{c - 8}$

2. Упростим выражение во вторых скобках (делитель):

$\frac{7c - 8}{c - 8} - 7 = \frac{7c - 8 - 7(c - 8)}{c - 8} = \frac{7c - 8 - 7c + 56}{c - 8} = \frac{48}{c - 8}$

3. Выполним деление результатов:

$\left(\frac{8}{c - 8}\right) : \left(\frac{48}{c - 8}\right) = \frac{8}{c - 8} \cdot \frac{c - 8}{48}$

Сокращая на $(c-8)$, получаем:

$\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$

Таким образом, при всех допустимых значениях c значение выражения равно $\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$