Номер 11, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Упростите выражение

$\left(4b - 4c + \frac{c^2}{b}\right) : \left(2 - \frac{c}{b}\right)$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия по порядку. Сначала упростим каждое из выражений в скобках, а затем выполним деление.

1. Упрощение первого выражения в скобках: $4b - 4c + \frac{c^2}{b}$

Приведем все члены выражения к общему знаменателю $b$:

$4b - 4c + \frac{c^2}{b} = \frac{4b \cdot b}{b} - \frac{4c \cdot b}{b} + \frac{c^2}{b} = \frac{4b^2 - 4bc + c^2}{b}$

Обратим внимание на числитель $4b^2 - 4bc + c^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a - d)^2 = a^2 - 2ad + d^2$. В нашем случае $a = 2b$ и $d = c$.

Проверим: $(2b - c)^2 = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot c + c^2 = 4b^2 - 4bc + c^2$.

Таким образом, первое выражение в скобках равно:

$\frac{(2b - c)^2}{b}$

2. Упрощение второго выражения в скобках: $2 - \frac{c}{b}$

Также приведем это выражение к общему знаменателю $b$:

$2 - \frac{c}{b} = \frac{2 \cdot b}{b} - \frac{c}{b} = \frac{2b - c}{b}$

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$\frac{(2b - c)^2}{b} : \frac{2b - c}{b}$

Деление дробей эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{(2b - c)^2}{b} \cdot \frac{b}{2b - c}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $b$ и $(2b - c)$:

$\frac{(2b - c)^{\cancel{2}}}{\cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{b}}{\cancel{2b - c}} = 2b - c$

Данное упрощение справедливо при условиях, что знаменатели исходных дробей не равны нулю, то есть $b \neq 0$ и $2 - \frac{c}{b} \neq 0$ (что эквивалентно $2b - c \neq 0$).

Ответ: $2b - c$