Номер 6, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $(\frac{1}{a-3} - \frac{1}{a+3}) : \frac{6}{a-3}$

Б) $(\frac{3a}{a-3} + a) : a^2$

В) $(\frac{3a}{a+3} - a) : \frac{a^2}{a^2+6a+9}$

Тождественно равное выражение

1) $a+3$

2) $-a-3$

3) $\frac{1}{a+3}$

4) $\frac{1}{a-3}$

5) $\frac{1}{3-a}$

А)

Упростим выражение $ \left( \frac{1}{a - 3} - \frac{1}{a + 3} \right) : \frac{6}{a - 3} $.

1. Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a - 3)(a + 3) $:

$ \frac{1}{a - 3} - \frac{1}{a + 3} = \frac{1 \cdot (a + 3) - 1 \cdot (a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a + 3 - a + 3}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} $

2. Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} : \frac{6}{a - 3} = \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} \cdot \frac{a - 3}{6} $

3. Сократим общие множители $6$ и $ (a - 3) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{6}}{\cancel{(a - 3)}(a + 3)} \cdot \frac{\cancel{a - 3}}{\cancel{6}} = \frac{1}{a + 3} $

Полученное выражение соответствует варианту 3) в правом столбце.

Ответ: 3

Б)

Упростим выражение $ \left( \frac{3a}{a - 3} + a \right) : a^2 $.

1. Выполним сложение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $ (a - 3) $:

$ \frac{3a}{a - 3} + a = \frac{3a}{a - 3} + \frac{a(a - 3)}{a - 3} = \frac{3a + a^2 - 3a}{a - 3} = \frac{a^2}{a - 3} $

2. Выполним деление:

$ \frac{a^2}{a - 3} : a^2 = \frac{a^2}{a - 3} \cdot \frac{1}{a^2} $

3. Сократим общий множитель $ a^2 $:

$ \frac{\cancel{a^2}}{a - 3} \cdot \frac{1}{\cancel{a^2}} = \frac{1}{a - 3} $

Полученное выражение соответствует варианту 4) в правом столбце.

Ответ: 4

В)

Упростим выражение $ \left( \frac{3a}{a + 3} - a \right) : \frac{a^2}{a^2 + 6a + 9} $.

1. Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $ (a + 3) $:

$ \frac{3a}{a + 3} - a = \frac{3a}{a + 3} - \frac{a(a + 3)}{a + 3} = \frac{3a - (a^2 + 3a)}{a + 3} = \frac{3a - a^2 - 3a}{a + 3} = \frac{-a^2}{a + 3} $

2. Заметим, что знаменатель делителя $ a^2 + 6a + 9 $ является полным квадратом суммы: $ (a + 3)^2 $.

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{-a^2}{a + 3} : \frac{a^2}{(a + 3)^2} = \frac{-a^2}{a + 3} \cdot \frac{(a + 3)^2}{a^2} $

4. Сократим общие множители $ a^2 $ и $ (a + 3) $:

$ \frac{-\cancel{a^2}}{\cancel{a + 3}} \cdot \frac{(a + 3)^{\cancel{2}}}{\cancel{a^2}} = -(a + 3) = -a - 3 $

Полученное выражение соответствует варианту 2) в правом столбце.

Ответ: 2