Номер 4, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Упростите выражение $ \frac{x^2 - 5x}{6x + 12} : \frac{x - 5}{3x + 6} $

1) $ 2x $

2) $ \frac{x}{2} $

3) $ \frac{1}{2x} $

4) $ \frac{2}{x} $

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо выполнить деление дробей. Правило деления дробей гласит, что для деления одной дроби на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

Исходное выражение:

$$ \frac{x^2 - 5x}{6x + 12} : \frac{x - 5}{3x + 6} $$

Применяем правило деления дробей, заменяя знак деления на умножение и переворачивая вторую дробь:

$$ \frac{x^2 - 5x}{6x + 12} \cdot \frac{3x + 6}{x - 5} $$

Следующим шагом разложим числители и знаменатели на множители для последующего сокращения.

1. Числитель первой дроби $x^2 - 5x$. Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$$ x^2 - 5x = x(x - 5) $$

2. Знаменатель первой дроби $6x + 12$. Выносим общий множитель 6 за скобки:

$$ 6x + 12 = 6(x + 2) $$

3. Числитель второй дроби $3x + 6$. Выносим общий множитель 3 за скобки:

$$ 3x + 6 = 3(x + 2) $$

4. Знаменатель второй дроби $(x - 5)$ уже является простым множителем.

Подставляем полученные разложения обратно в выражение:

$$ \frac{x(x - 5)}{6(x + 2)} \cdot \frac{3(x + 2)}{x - 5} $$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем общий множитель $(x - 5)$ и общий множитель $(x + 2)$:

$$ \frac{x \cdot (x - 5) \cdot 3 \cdot (x + 2)}{6 \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)} = \frac{3x}{6} $$

Осталось сократить числовую дробь $\frac{3}{6}$. Делим числитель и знаменатель на 3:

$$ \frac{3x}{6} = \frac{x}{2} $$

Таким образом, после упрощения исходное выражение равно $\frac{x}{2}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $\frac{x}{2}$