Номер 5, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Какому числу при всех допустимых значениях b равно значение выражения

$\left(\frac{6b}{b^2 - 9} - \frac{3}{b - 3}\right) : \left(\frac{5b + 6}{b + 3} - 5\right)?$

1) $ -\frac{1}{3} $

2) $ \frac{1}{3} $

3) $ -3 $

4) $ 3 $

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо его упростить. Решение будет состоять из нескольких шагов: упрощение выражений в каждой из скобок и затем выполнение деления.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

• $b^2 - 9 \neq 0 \implies (b-3)(b+3) \neq 0 \implies b \neq 3$ и $b \neq -3$.
• $b - 3 \neq 0 \implies b \neq 3$.
• $b + 3 \neq 0 \implies b \neq -3$.

Также делитель не должен быть равен нулю. Упростим его: $\frac{5b + 6}{b + 3} - 5 = \frac{5b + 6 - 5(b+3)}{b+3} = \frac{-9}{b+3}$. Это выражение не равно нулю при $b \neq -3$.

Таким образом, ОДЗ: $b \neq \pm 3$.

1. Упрощение выражения в первых скобках:

$ \frac{6b}{b^2 - 9} - \frac{3}{b - 3} $

Используем формулу разности квадратов для знаменателя первой дроби $b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3)$. Затем приведем дроби к общему знаменателю $(b - 3)(b + 3)$:

$ \frac{6b}{(b - 3)(b + 3)} - \frac{3(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{6b - 3(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{6b - 3b - 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{3b - 9}{(b - 3)(b + 3)} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим полученную дробь:

$ \frac{3(b - 3)}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{3}{b + 3} $

2. Упрощение выражения во вторых скобках:

$ \frac{5b + 6}{b + 3} - 5 $

Приведем к общему знаменателю $(b + 3)$:

$ \frac{5b + 6}{b + 3} - \frac{5(b + 3)}{b + 3} = \frac{5b + 6 - 5(b + 3)}{b + 3} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5b + 6 - 5b - 15}{b + 3} = \frac{-9}{b + 3} $

3. Выполнение деления:

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \left(\frac{3}{b + 3}\right) : \left(\frac{-9}{b + 3}\right) $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{3}{b + 3} \cdot \frac{b + 3}{-9} = \frac{3 \cdot (b + 3)}{(b + 3) \cdot (-9)} $

Сократим общие множители $(b+3)$ и упростим числовое выражение:

$ \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} $

Таким образом, при всех допустимых значениях $b$ значение выражения постоянно и равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$