Номер 6, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $a - \frac{2a}{a+2} : \frac{a^2}{a^2+4a+4}$

Б) $\left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2}\right) : \frac{4}{a-2}$

В) $a + \frac{2a}{a-2} : a^2$

Тождественно равное выражение

1) $\frac{1}{a+2}$

2) $\frac{1}{a-2}$

3) $a+2$

4) $a-2$

5) $2-a$

Упростим данное выражение. Сначала выполним действие в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $(a + 2)$:
$a - \frac{2a}{a + 2} = \frac{a(a + 2)}{a + 2} - \frac{2a}{a + 2} = \frac{a^2 + 2a - 2a}{a + 2} = \frac{a^2}{a + 2}$
Теперь рассмотрим делитель. Его знаменатель $a^2 + 4a + 4$ является формулой квадрата суммы: $(a+2)^2$. Таким образом, делитель равен $\frac{a^2}{(a + 2)^2}$.
Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{a^2}{a + 2} : \frac{a^2}{(a + 2)^2} = \frac{a^2}{a + 2} \cdot \frac{(a + 2)^2}{a^2}$
Сократим общие множители $a^2$ и $(a + 2)$:
$\frac{1}{1} \cdot \frac{a + 2}{1} = a + 2$
Полученное выражение соответствует варианту 3).

Ответ: 3

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a - 2)(a + 2)$:
$\frac{1}{a - 2} - \frac{1}{a + 2} = \frac{1 \cdot (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{1 \cdot (a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{(a + 2) - (a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a + 2 - a + 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{4}{(a - 2)(a + 2)}$
Теперь выполним деление на дробь $\frac{4}{a - 2}$, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{4}{(a - 2)(a + 2)} : \frac{4}{a - 2} = \frac{4}{(a - 2)(a + 2)} \cdot \frac{a - 2}{4}$
Сократим общие множители 4 и $(a - 2)$:
$\frac{1}{a + 2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{a + 2}$
Полученное выражение соответствует варианту 1).

Ответ: 1

Упростим выражение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $(a - 2)$:
$a + \frac{2a}{a - 2} = \frac{a(a - 2)}{a - 2} + \frac{2a}{a - 2} = \frac{a^2 - 2a + 2a}{a - 2} = \frac{a^2}{a - 2}$
Теперь выполним деление на $a^2$:
$\frac{a^2}{a - 2} : a^2 = \frac{a^2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a^2}$
Сократим общий множитель $a^2$:
$\frac{1}{a - 2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{a - 2}$
Полученное выражение соответствует варианту 2).

Ответ: 2