Номер 12, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Найдите значение выражения

$(\frac{9}{a-4} - a - 4) \cdot \frac{4-a}{a^2 + 10a + 25}$, если $a = 95$.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него значение $a=95$.

Исходное выражение: $ (\frac{9}{a-4} - a - 4) \cdot \frac{4-a}{a^2 + 10a + 25} $.

1. Упрощение выражения в скобках.

Приведем все члены в скобках к общему знаменателю $(a-4)$:

$ \frac{9}{a-4} - a - 4 = \frac{9}{a-4} - (a+4) = \frac{9}{a-4} - \frac{(a+4)(a-4)}{a-4} $

Применяя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ для выражения $(a+4)(a-4)$, получаем:

$ \frac{9 - (a^2 - 16)}{a-4} = \frac{9 - a^2 + 16}{a-4} = \frac{25 - a^2}{a-4} $

Снова применим формулу разности квадратов к числителю $25 - a^2 = (5-a)(5+a)$:

$ \frac{(5-a)(5+a)}{a-4} $

2. Упрощение второго множителя.

Рассмотрим дробь $ \frac{4-a}{a^2 + 10a + 25} $.

В числителе вынесем знак минус за скобку: $4-a = -(a-4)$.

Знаменатель $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$ a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a+5)^2 $

Таким образом, вторая дробь преобразуется к виду:

$ \frac{-(a-4)}{(a+5)^2} $

3. Выполнение умножения.

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$ \frac{(5-a)(5+a)}{a-4} \cdot \frac{-(a-4)}{(a+5)^2} $

Заметим, что $5+a = a+5$. Сократим общие множители $(a-4)$ и $(a+5)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как при $a=95$ они не равны нулю):

$ \frac{(5-a)\cancel{(a+5)}}{\cancel{a-4}} \cdot \frac{-\cancel{(a-4)}}{(a+5)^{\cancel{2}}} = \frac{5-a}{1} \cdot \frac{-1}{a+5} = \frac{-(5-a)}{a+5} = \frac{a-5}{a+5} $

4. Вычисление значения выражения при $a=95$.

Подставим значение $a=95$ в полученное упрощенное выражение:

$ \frac{a-5}{a+5} = \frac{95-5}{95+5} = \frac{90}{100} = 0,9 $

Ответ: 0,9