Номер 6, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $(\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a-1}) : \frac{2}{a+1}$

Б) $(a - \frac{a}{a-1}) : \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 2a + 1}$

В) $(\frac{a}{a+1} - a) : \frac{a^2}{a^2 + 2a + 1}$

Тождественно равное выражение

1) $a + 1$

2) $a - 1$

3) $-a - 1$

4) $\frac{1}{a - 1}$

5) $\frac{1}{1 - a}$

А)

Упростим выражение $(\frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a - 1}) : \frac{2}{a + 1}$.

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$.

$\frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a - 1} = \frac{1 \cdot (a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} - \frac{1 \cdot (a + 1)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a - 1 - (a + 1)}{a^2 - 1} = \frac{a - 1 - a - 1}{a^2 - 1} = \frac{-2}{a^2 - 1}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-2}{a^2 - 1} : \frac{2}{a + 1} = \frac{-2}{a^2 - 1} \cdot \frac{a + 1}{2}$.

Разложим знаменатель $a^2 - 1$ по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$, и сократим дробь:

$\frac{-2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{a + 1}{2} = \frac{-1}{a - 1}$.

Преобразуем полученное выражение, чтобы оно соответствовало одному из вариантов в правом столбце:

$\frac{-1}{a - 1} = \frac{1}{-(a - 1)} = \frac{1}{1 - a}$.

Это выражение соответствует варианту под номером 5.

Ответ: 5

Б)

Упростим выражение $(a - \frac{a}{a - 1}) : \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 2a + 1}$.

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $a - 1$.

$a - \frac{a}{a - 1} = \frac{a(a - 1)}{a - 1} - \frac{a}{a - 1} = \frac{a^2 - a - a}{a - 1} = \frac{a^2 - 2a}{a - 1}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{a^2 - 2a}{a - 1} : \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 2a + 1} = \frac{a^2 - 2a}{a - 1} \cdot \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 2a}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$. Сократим выражение:

$\frac{a^2 - 2a}{a - 1} \cdot \frac{(a - 1)^2}{a^2 - 2a} = \frac{(a - 1)^2}{a - 1} = a - 1$.

Это выражение соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

В)

Упростим выражение $(\frac{a}{a + 1} - a) : \frac{a^2}{a^2 + 2a + 1}$.

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $a + 1$.

$\frac{a}{a + 1} - a = \frac{a}{a + 1} - \frac{a(a + 1)}{a + 1} = \frac{a - (a^2 + a)}{a + 1} = \frac{a - a^2 - a}{a + 1} = \frac{-a^2}{a + 1}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{-a^2}{a + 1} : \frac{a^2}{a^2 + 2a + 1} = \frac{-a^2}{a + 1} \cdot \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2}$.

Заметим, что числитель второй дроби является полным квадратом: $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$. Сократим выражение:

$\frac{-a^2}{a + 1} \cdot \frac{(a + 1)^2}{a^2} = \frac{-(a + 1)^2}{a + 1} = -(a + 1) = -a - 1$.

Это выражение соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3