Номер 4, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Упростите выражение $\frac{x-9}{3x+15} : \frac{x^2-9x}{9x+45}$

1) $\frac{3}{x}$

2) $\frac{x}{3}$

3) $\frac{9}{x}$

4) $3x$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить деление алгебраических дробей. Правило деления дробей гласит, что для деления одной дроби на другую нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Исходное выражение:

$$ \frac{x - 9}{3x + 15} : \frac{x^2 - 9x}{9x + 45} $$

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{x - 9}{3x + 15} \cdot \frac{9x + 45}{x^2 - 9x} $$

Далее, для возможности сокращения дроби, разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно.

1. Знаменатель первой дроби $3x + 15$: вынесем общий множитель 3 за скобки.

$$ 3x + 15 = 3(x + 5) $$

2. Числитель второй дроби $9x + 45$: вынесем общий множитель 9 за скобки.

$$ 9x + 45 = 9(x + 5) $$

3. Знаменатель второй дроби $x^2 - 9x$: вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$$ x^2 - 9x = x(x - 9) $$

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в нашу дробь:

$$ \frac{x - 9}{3(x + 5)} \cdot \frac{9(x + 5)}{x(x - 9)} $$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(x-9)$ и $(x+5)$:

$$ \frac{\cancel{(x - 9)}}{3\cancel{(x + 5)}} \cdot \frac{9\cancel{(x + 5)}}{x\cancel{(x - 9)}} $$

После сокращения общих множителей у нас остается:

$$ \frac{9}{3x} $$

Полученную дробь можно упростить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$$ \frac{9}{3x} = \frac{3}{x} $$

Полученный результат $ \frac{3}{x} $ соответствует варианту ответа 1).

Ответ: $ \frac{3}{x} $