Номер 5, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Какому числу при всех допустимых значениях $m$ равно значение выражения

$\left(\frac{14m}{m^2 - 49} - \frac{7}{m+7}\right) : \left(\frac{4m-7}{m-7} - 4\right)?$

1) $-\frac{1}{3}$

2) $\frac{1}{3}$

3) $-3$

4) $3$

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо его упростить. Будем выполнять действия по порядку, предварительно определив область допустимых значений (ОДЗ) переменной $m$.

Выражение имеет смысл, если все знаменатели дробей не равны нулю и делитель не равен нулю.

1. $m^2 - 49 \neq 0 \implies (m - 7)(m + 7) \neq 0$. Отсюда $m \neq 7$ и $m \neq -7$.

2. $m + 7 \neq 0 \implies m \neq -7$.

3. $m - 7 \neq 0 \implies m \neq 7$.

4. Делитель $(\frac{4m - 7}{m - 7} - 4)$ не должен быть равен нулю. Упростим его: $\frac{4m - 7}{m - 7} - 4 = \frac{4m - 7 - 4(m - 7)}{m - 7} = \frac{4m - 7 - 4m + 28}{m - 7} = \frac{21}{m - 7}$. Эта дробь не равна нулю, так как ее числитель 21 не равен нулю. Условие выполняется при $m \neq 7$.

Таким образом, ОДЗ: $m$ - любое число, кроме $7$ и $-7$.

Теперь упростим выражение по действиям.

Действие в первой скобке:

$\frac{14m}{m^2 - 49} - \frac{7}{m + 7} = \frac{14m}{(m - 7)(m + 7)} - \frac{7}{m + 7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(m - 7)(m + 7)$:

$\frac{14m}{(m - 7)(m + 7)} - \frac{7(m - 7)}{(m - 7)(m + 7)} = \frac{14m - 7(m - 7)}{(m - 7)(m + 7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{14m - 7m + 49}{(m - 7)(m + 7)} = \frac{7m + 49}{(m - 7)(m + 7)}$

Вынесем общий множитель 7 в числителе и сократим дробь:

$\frac{7(m + 7)}{(m - 7)(m + 7)} = \frac{7}{m - 7}$

Действие во второй скобке (уже выполнено при нахождении ОДЗ):

$\frac{4m - 7}{m - 7} - 4 = \frac{21}{m - 7}$

Теперь выполним деление результатов:

$\left(\frac{7}{m - 7}\right) : \left(\frac{21}{m - 7}\right)$

Для деления на дробь, умножим на обратную ей дробь:

$\frac{7}{m - 7} \cdot \frac{m - 7}{21}$

Сократим $(m - 7)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $m \neq 7$):

$\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

Значение выражения не зависит от переменной $m$ и всегда равно $\frac{1}{3}$ при всех допустимых значениях $m$.

Ответ: $\frac{1}{3}$