Номер 11, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Упростите выражение

$\left(4a - 20b + \frac{25b^2}{a}\right) : \left(2 - \frac{5b}{a}\right).$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия по шагам. Сначала преобразуем выражения в каждой из скобок, приводя их к общему знаменателю, а затем выполним операцию деления.

1. Рассмотрим первое выражение в скобках (делимое): $4a - 20b + \frac{25b^2}{a}$.
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$:$$ \frac{4a \cdot a}{a} - \frac{20b \cdot a}{a} + \frac{25b^2}{a} = \frac{4a^2 - 20ab + 25b^2}{a} $$Числитель полученной дроби $4a^2 - 20ab + 25b^2$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 2a$ и $y = 5b$.
Проверим: $(2a - 5b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (5b) + (5b)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2$.
Таким образом, первое выражение можно записать как:$$ \frac{(2a - 5b)^2}{a} $$

2. Теперь рассмотрим второе выражение в скобках (делитель): $2 - \frac{5b}{a}$.
Приведем его к общему знаменателю $a$:$$ \frac{2 \cdot a}{a} - \frac{5b}{a} = \frac{2a - 5b}{a} $$

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.$$ \left(\frac{(2a - 5b)^2}{a}\right) : \left(\frac{2a - 5b}{a}\right) = \frac{(2a - 5b)^2}{a} \cdot \frac{a}{2a - 5b} $$Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Мы можем сократить $a$ и одну степень $(2a - 5b)$:$$ \frac{(2a - 5b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{2a - 5b}} = 2a - 5b $$Данное упрощение справедливо при условиях, что знаменатели не равны нулю, то есть $a \neq 0$ и $2 - \frac{5b}{a} \neq 0$ (что эквивалентно $2a - 5b \neq 0$).

Ответ: $2a - 5b$