Страница 116 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Представьте в виде дроби выражение

$\frac{p^2 - 64}{4p^4} \cdot \frac{p}{5p + 40}$

Для того чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо выполнить умножение двух дробей. Правило умножения дробей гласит, что нужно перемножить их числители и знаменатели.

Исходное выражение:

$ \frac{p^2 - 64}{4p^4} \cdot \frac{p}{5p + 40} $

Перемножим числители и знаменатели:

$ \frac{(p^2 - 64) \cdot p}{4p^4 \cdot (5p + 40)} $

Для упрощения полученной дроби разложим на множители выражения в числителе и знаменателе.

1. В числителе выражение $ p^2 - 64 $ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ p^2 - 64 = p^2 - 8^2 = (p-8)(p+8) $

2. В знаменателе из выражения $ 5p + 40 $ можно вынести за скобки общий множитель 5:

$ 5p + 40 = 5(p+8) $

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в нашу дробь:

$ \frac{(p-8)(p+8) \cdot p}{4p^4 \cdot 5(p+8)} $

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $ (p+8) $ и $ p $.

Сокращаем $ (p+8) $:

$ \frac{(p-8) \cdot p}{4p^4 \cdot 5} $

Сокращаем $ p $ и $ p^4 $ ( $ \frac{p}{p^4} = \frac{1}{p^3} $):

$ \frac{p-8}{4p^3 \cdot 5} $

Осталось перемножить числа в знаменателе:

$ \frac{p-8}{20p^3} $

Ответ: $ \frac{p-8}{20p^3} $

8. Найдите значение выражения $\frac{a-3}{9a-1} : \frac{a^2-3a}{81a^2-18a+1}$, если $a = \frac{1}{11}$.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{a-3}{9a-1} : \frac{a^2-3a}{81a^2-18a+1} = \frac{a-3}{9a-1} \cdot \frac{81a^2-18a+1}{a^2-3a}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. В выражении $a^2-3a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a-3)$. Выражение $81a^2-18a+1$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. В данном случае $x=9a$ и $y=1$, поэтому $81a^2-18a+1 = (9a-1)^2$.

Подставим разложенные выражения обратно в нашу дробь:

$\frac{a-3}{9a-1} \cdot \frac{(9a-1)^2}{a(a-3)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a-3)$ и одну степень $(9a-1)$:

$\frac{\cancel{a-3}}{\cancel{9a-1}} \cdot \frac{(9a-1)^{\cancel{2}}}{a(\cancel{a-3})} = \frac{9a-1}{a}$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $a = \frac{1}{11}$:

$\frac{9 \cdot \frac{1}{11} - 1}{\frac{1}{11}}$

Выполним вычисления:

$\frac{\frac{9}{11} - 1}{\frac{1}{11}} = \frac{\frac{9}{11} - \frac{11}{11}}{\frac{1}{11}} = \frac{-\frac{2}{11}}{\frac{1}{11}} = -\frac{2}{11} \cdot \frac{11}{1} = -2$

Ответ: -2

9. Выполните деление: $(x+14) : \frac{x^2 + 28x + 196}{x^2 - 196}.$

Чтобы выполнить деление алгебраических выражений, мы заменяем операцию деления на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь.

Исходное выражение:

$(x+14) : \frac{x^2+28x+196}{x^2-196}$

Заменяем деление на умножение:

$(x+14) \cdot \frac{x^2-196}{x^2+28x+196}$

Далее, для упрощения выражения, разложим на множители числитель и знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения.

1. Разложим числитель $x^2-196$. Это разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=x$ и $b=\sqrt{196}=14$.

$x^2-196 = (x-14)(x+14)$

2. Разложим знаменатель $x^2+28x+196$. Это полный квадрат суммы вида $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=14$, а $2ab = 2 \cdot x \cdot 14 = 28x$.

$x^2+28x+196 = (x+14)^2$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в нашу задачу:

$(x+14) \cdot \frac{(x-14)(x+14)}{(x+14)^2}$

Объединим множители в числителе:

$\frac{(x+14)(x-14)(x+14)}{(x+14)^2} = \frac{(x+14)^2(x-14)}{(x+14)^2}$

Сократим общий множитель $(x+14)^2$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x+14 \neq 0$, то есть $x \neq -14$).

$\frac{\cancel{(x+14)^2}(x-14)}{\cancel{(x+14)^2}} = x-14$

Ответ: $x-14$

10. Упростите выражение $\frac{4 - \frac{1}{m}}{7 - \frac{2-m}{m}}$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо сначала по отдельности преобразовать числитель и знаменатель, приведя их к общему знаменателю $m$.

1. Преобразуем числитель основной дроби:

$4 - \frac{1}{m} = \frac{4 \cdot m}{m} - \frac{1}{m} = \frac{4m - 1}{m}$

2. Преобразуем знаменатель основной дроби:

$7 - \frac{2 - m}{m} = \frac{7 \cdot m}{m} - \frac{2 - m}{m} = \frac{7m - (2 - m)}{m} = \frac{7m - 2 + m}{m} = \frac{8m - 2}{m}$

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{4m - 1}{m}}{\frac{8m - 2}{m}}$

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{4m - 1}{m} \cdot \frac{m}{8m - 2}$

Сокращаем $m$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как изначальное выражение не определено при $m=0$):

$\frac{4m - 1}{8m - 2}$

5. Замечаем, что в знаменателе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$8m - 2 = 2(4m - 1)$

Подставляем это в наше выражение:

$\frac{4m - 1}{2(4m - 1)}$

6. Сокращаем одинаковый множитель $(4m - 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{4m - 1}}{2(\cancel{4m - 1})} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

11. Упростите выражение

$\left(4a - 20b + \frac{25b^2}{a}\right) : \left(2 - \frac{5b}{a}\right).$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия по шагам. Сначала преобразуем выражения в каждой из скобок, приводя их к общему знаменателю, а затем выполним операцию деления.

1. Рассмотрим первое выражение в скобках (делимое): $4a - 20b + \frac{25b^2}{a}$.
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$:$$ \frac{4a \cdot a}{a} - \frac{20b \cdot a}{a} + \frac{25b^2}{a} = \frac{4a^2 - 20ab + 25b^2}{a} $$Числитель полученной дроби $4a^2 - 20ab + 25b^2$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 2a$ и $y = 5b$.
Проверим: $(2a - 5b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (5b) + (5b)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2$.
Таким образом, первое выражение можно записать как:$$ \frac{(2a - 5b)^2}{a} $$

2. Теперь рассмотрим второе выражение в скобках (делитель): $2 - \frac{5b}{a}$.
Приведем его к общему знаменателю $a$:$$ \frac{2 \cdot a}{a} - \frac{5b}{a} = \frac{2a - 5b}{a} $$

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.$$ \left(\frac{(2a - 5b)^2}{a}\right) : \left(\frac{2a - 5b}{a}\right) = \frac{(2a - 5b)^2}{a} \cdot \frac{a}{2a - 5b} $$Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Мы можем сократить $a$ и одну степень $(2a - 5b)$:$$ \frac{(2a - 5b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{2a - 5b}} = 2a - 5b $$Данное упрощение справедливо при условиях, что знаменатели не равны нулю, то есть $a \neq 0$ и $2 - \frac{5b}{a} \neq 0$ (что эквивалентно $2a - 5b \neq 0$).

Ответ: $2a - 5b$

12. Найдите значение выражения

$\left(\frac{11}{b-5}-b-5\right) \cdot \frac{5-b}{b^2-12b+36}$, если $b=106$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого выполним действия по порядку.

1. Преобразуем выражение в скобках, приведя все его части к общему знаменателю $(b-5)$.

$ \left(\frac{11}{b-5} - b - 5\right) = \frac{11}{b-5} - (b+5) = \frac{11}{b-5} - \frac{(b+5)(b-5)}{b-5} $

Применим в числителе формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$ \frac{11 - (b^2 - 5^2)}{b-5} = \frac{11 - (b^2 - 25)}{b-5} = \frac{11 - b^2 + 25}{b-5} = \frac{36 - b^2}{b-5} $

2. Теперь упростим вторую дробь $ \frac{5-b}{b^2 - 12b + 36} $.

Знаменатель $ b^2 - 12b + 36 $ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

$ b^2 - 12b + 36 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 6 + 6^2 = (b-6)^2 $

В числителе вынесем знак минус за скобку: $ 5-b = -(b-5) $.

Таким образом, вторая дробь принимает вид:

$ \frac{-(b-5)}{(b-6)^2} $

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$ \frac{36 - b^2}{b-5} \cdot \frac{-(b-5)}{(b-6)^2} $

Разложим числитель первой дроби $ 36 - b^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 36 - b^2 = (6-b)(6+b) $

Подставим это в произведение:

$ \frac{(6-b)(6+b)}{b-5} \cdot \frac{-(b-5)}{(b-6)^2} $

Сократим общий множитель $(b-5)$ в числителе и знаменателе:

$ (6-b)(6+b) \cdot \frac{-1}{(b-6)^2} $

Заметим, что $ 6-b = -(b-6) $. Подставим и упростим:

$ -(b-6)(b+6) \cdot \frac{-1}{(b-6)^2} = \frac{(b-6)(b+6)}{(b-6)^2} $

Сократим общий множитель $(b-6)$:

$ \frac{b+6}{b-6} $

4. Теперь подставим значение $ b = 106 $ в упрощенное выражение:

$ \frac{106+6}{106-6} = \frac{112}{100} = 1.12 $

Ответ: 1.12