Страница 123 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из данных уравнений не имеет корней?

1) $\frac{x+3}{x-3} = 0$

2) $\frac{x+3}{x^2-9} = 0$

3) $\frac{x+3}{x^2+9} = 0$

4) $\frac{x+3}{x+3} = 1$

Чтобы определить, какое из данных уравнений не имеет корней, необходимо проанализировать каждое из них.

Дробно-рациональное уравнение вида $\frac{f(x)}{g(x)}=0$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = 0, \\ g(x) \neq 0. \end{cases}$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1) $\frac{x+3}{x-3} = 0$

Приравниваем числитель к нулю и проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю.
$x+3=0 \implies x=-3$.
Проверка знаменателя при $x=-3$:
$x-3 = -3-3 = -6$.
Так как $-6 \neq 0$, то $x=-3$ является корнем уравнения.
Ответ: уравнение имеет корень.

2) $\frac{x+3}{x^2-9} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:
$x+3=0 \implies x=-3$.
Проверяем знаменатель при найденном значении $x$:
$x^2-9 = (-3)^2 - 9 = 9-9 = 0$.
Поскольку при $x=-3$ знаменатель обращается в ноль, это значение не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения. Других значений $x$, при которых числитель равен нулю, нет. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: уравнение не имеет корней.

3) $\frac{x+3}{x^2+9} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:
$x+3=0 \implies x=-3$.
Проверяем знаменатель. Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$), поэтому $x^2+9 \ge 9$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, $x=-3$ является корнем уравнения.
Ответ: уравнение имеет корень.

4) $\frac{x+3}{x+3} = 1$

Это равенство является верным для всех значений $x$, при которых выражение в левой части имеет смысл. Выражение определено, когда его знаменатель не равен нулю.
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.
Таким образом, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x=-3$. Уравнение имеет бесконечное множество корней.
Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней.

Проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что уравнение, которое не имеет корней, находится под номером 2.

2. Укажите рисунок, на котором изображён график функции $y = - \frac{2}{x}$.

1) 2) 3) 4)

Функция, данная в задании, — это $y = -\frac{2}{x}$. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Общий вид такой функции — $y = \frac{k}{x}$. В данном случае коэффициент $k = -2$.

Поскольку коэффициент $k < 0$, ветви гиперболы должны быть расположены во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Этому условию удовлетворяют графики на рисунках 2 и 4. Графики 1 и 3 не подходят, так как на них ветви расположены в первой и третьей четвертях, что соответствует случаю $k > 0$.

Чтобы выбрать между рисунками 2 и 4, найдем значение функции в какой-либо контрольной точке. Например, возьмем $x = -1$:

$y = -\frac{2}{-1} = 2$.

Таким образом, график должен проходить через точку с координатами $(-1; 2)$.

Теперь проверим, какой из графиков проходит через эту точку:

• На рисунке 2 при $x = -1$ значение $y$ действительно равно 2. Этот график подходит.
• На рисунке 4 при $x = -1$ значение $y$ находится между 0 и 1, а не равно 2. Этот график не подходит.

Следовательно, правильный график изображен на рисунке 2.

Ответ: 2

3. Какое из приведённых выражений тождественно равно степени $11^{k-6}$?

1) $11^k - 11^6$

2) $(11^k)^{-6}$

3) $\frac{11^k}{11^{-6}}$

4) $\frac{11^k}{11^6}$

Для того чтобы определить, какое из приведённых выражений тождественно равно степени $11^{k-6}$, необходимо воспользоваться свойствами степеней. Ключевым свойством для данной задачи является правило деления степеней с одинаковым основанием, которое формулируется следующим образом:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Используя это правило, мы можем представить исходное выражение $11^{k-6}$ в виде дроби, где $a=11$, $m=k$ и $n=6$. Таким образом, $11^{k-6} = \frac{11^k}{11^6}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $11^k - 11^6$

Данное выражение является разностью двух степеней. Важно помнить, что не существует свойства, которое бы преобразовывало степень с разностью в показателе в разность степеней. То есть, $a^{m-n} \neq a^m - a^n$. Следовательно, это выражение не равно $11^{k-6}$.

Ответ: неверно.

2) $(11^k)^{-6}$

Для этого выражения применяется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В нашем случае: $(11^k)^{-6} = 11^{k \cdot (-6)} = 11^{-6k}$. Полученное выражение $11^{-6k}$ не тождественно $11^{k-6}$.

Ответ: неверно.

3) $\frac{11^k}{11^{-6}}$

Здесь мы также используем правило деления степеней. Показатель степени в знаменателе вычитается из показателя степени в числителе: $\frac{11^k}{11^{-6}} = 11^{k - (-6)} = 11^{k+6}$. Это выражение не равно $11^{k-6}$.

Ответ: неверно.

4) $\frac{11^k}{11^6}$

Применяя правило деления степеней с одинаковым основанием, получаем: $\frac{11^k}{11^6} = 11^{k-6}$. Это выражение в точности совпадает с исходным.

Ответ: верно.