Страница 129 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{0,81}$, $\sqrt{81}$, $\sqrt{810}$, $\sqrt{810000}$ является
иррациональным?

1) $\sqrt{0,81}$

2) $\sqrt{81}$

3) $\sqrt{810}$

4) $\sqrt{810000}$

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Квадратный корень из неотрицательного числа является рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является квадратом рационального числа.

Рассмотрим каждый вариант:

1) $\sqrt{0,81}$

Представим десятичную дробь 0,81 в виде обыкновенной дроби: $0,81 = \frac{81}{100}$.

Тогда $\sqrt{0,81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$.

Число 0,9 является конечной десятичной дробью, следовательно, это рациональное число.

2) $\sqrt{81}$

Число 81 является полным квадратом, так как $9^2 = 81$.

Следовательно, $\sqrt{81} = 9$.

Число 9 является целым, а значит и рациональным числом.

3) $\sqrt{810}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $810 = 81 \times 10 = 9^2 \times 10$.

Тогда $\sqrt{810} = \sqrt{9^2 \times 10} = \sqrt{9^2} \times \sqrt{10} = 9\sqrt{10}$.

Число 10 не является полным квадратом целого числа, поэтому $\sqrt{10}$ — иррациональное число. Произведение рационального числа (9) и иррационального числа ($\sqrt{10}$) является иррациональным числом.

4) $\sqrt{810000}$

Представим подкоренное выражение как произведение: $810000 = 81 \times 10000$.

Оба множителя являются полными квадратами: $81 = 9^2$ и $10000 = 100^2$.

Тогда $\sqrt{810000} = \sqrt{81 \times 10000} = \sqrt{81} \times \sqrt{10000} = 9 \times 100 = 900$.

Число 900 является целым, а значит и рациональным числом.

Таким образом, единственным иррациональным числом из предложенных является $\sqrt{810}$.

Ответ: $\sqrt{810}$

2. Укажите наибольшее из приведённых чисел.

1) $ \sqrt{59} $

2) $ 3\sqrt{7} $

3) $ 7 $

4) $ 2\sqrt{13} $

Для того чтобы сравнить данные числа, представим каждое из них в виде квадратного корня из числа, то есть в виде $\sqrt{a}$. Сравнение чисел будет равносильно сравнению их подкоренных выражений: чем больше значение $a$, тем больше значение $\sqrt{a}$ (для неотрицательных $a$).

1) $\sqrt{59}$

Это число уже представлено в виде квадратного корня. Подкоренное выражение равно 59.

2) $3\sqrt{7}$

Чтобы представить это число в виде $\sqrt{a}$, внесем множитель 3 под знак корня, предварительно возведя его в квадрат:

$3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$.

Подкоренное выражение равно 63.

3) 7

Представим число 7 в виде квадратного корня:

$7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$.

Подкоренное выражение равно 49.

4) $2\sqrt{13}$

Внесем множитель 2 под знак корня, возведя его в квадрат:

$2\sqrt{13} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}$.

Подкоренное выражение равно 52.

Теперь у нас есть четыре числа, представленные в виде квадратного корня: $\sqrt{59}$, $\sqrt{63}$, $\sqrt{49}$ и $\sqrt{52}$.

Сравним их подкоренные выражения: 59, 63, 49, 52.

Наибольшим из этих чисел является 63.

Так как $63 > 59 > 52 > 49$, то и соответствующие корни будут находиться в таком же соотношении: $\sqrt{63} > \sqrt{59} > \sqrt{52} > \sqrt{49}$.

Следовательно, наибольшее из приведённых чисел — это $\sqrt{63}$, что соответствует исходному числу $3\sqrt{7}$.

Ответ: $3\sqrt{7}$.

3. Дано множество $A = \{a, b, c\}$. Укажите неверное утверждение.

1) $a \in A$

2) $\{a, b\} \subset A$

3) $\emptyset \subset A$

4) $\{b\} \in A$

Для того чтобы найти неверное утверждение, необходимо проанализировать каждое из предложенных вариантов, учитывая, что дано множество $A = \{a, b, c\}$.

1) $a \in A$

Это утверждение означает, что элемент $a$ принадлежит множеству $A$. Знак $\in$ обозначает принадлежность. Смотрим на состав множества $A$: оно содержит элементы $a, b, c$. Так как $a$ является одним из этих элементов, утверждение верно.

2) $\{a, b\} \subset A$

Это утверждение означает, что множество $\{a, b\}$ является подмножеством множества $A$. Знак $\subset$ обозначает включение одного множества в другое (является подмножеством). Множество является подмножеством, если все его элементы содержатся в другом множестве. Элементами множества $\{a, b\}$ являются $a$ и $b$. Оба этих элемента также принадлежат множеству $A$. Следовательно, утверждение верно.

3) $\varnothing \subset A$

Это утверждение означает, что пустое множество ($\varnothing$) является подмножеством множества $A$. По определению из теории множеств, пустое множество является подмножеством любого множества. Это связано с тем, что в пустом множестве нет элементов, которые бы не принадлежали множеству $A$. Следовательно, утверждение верно.

4) $\{b\} \in A$

Это утверждение означает, что множество $\{b\}$ является элементом множества $A$. Элементами множества $A$ являются $a, b$ и $c$. Это отдельные объекты. Множество $\{b\}$ — это другой объект, а именно, множество, содержащее один элемент $b$. Он не является ни элементом $a$, ни элементом $b$, ни элементом $c$. Важно различать элемент $b$ и множество $\{b\}$. Утверждение $b \in A$ было бы верным, но $\{b\} \in A$ — неверно для данного множества $A$. Следовательно, это утверждение неверно.

По условию задачи, требовалось указать неверное утверждение. Таким является утверждение под номером 4.

Ответ: 4)

4. Упростите выражение $\frac{\sqrt{75a^3}}{\sqrt{3a}}$.

1) $25a$

2) $5a^2$

3) $5a$

4) $-5a$

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{75a^3}}{\sqrt{3a}}$ воспользуемся свойством частного корней, которое гласит, что $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$.

Прежде чем применить это свойство, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Следовательно, должны выполняться два условия:

1. $75a^3 \ge 0 \implies a^3 \ge 0 \implies a \ge 0$

2. $3a > 0 \implies a > 0$

Общим решением для этих двух условий является $a > 0$.

Теперь, используя свойство корней, объединим два корня в один:

$\frac{\sqrt{75a^3}}{\sqrt{3a}} = \sqrt{\frac{75a^3}{3a}}$

Далее, упростим выражение под знаком корня. Для этого разделим числовые коэффициенты и степени переменной $a$:

$\frac{75}{3} = 25$

$\frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2$

Таким образом, выражение под корнем становится $25a^2$.

$\sqrt{25a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень из полученного выражения:

$\sqrt{25a^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} = 5 \cdot |a|$

Так как из ОДЗ мы выяснили, что $a > 0$, то модуль $|a|$ равен $a$.

В результате получаем:

$5a$

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 5a

5. Графическое решение какого из приведённых уравнений изображено на рисунке?

1) $x^2 = 0,5x - 1$

2) $x^2 = 1 - 0,5x$

3) $\sqrt{x} = 0,5x - 1$

4) $\sqrt{x} = 1 - 0,5x$

Для определения уравнения, графическое решение которого представлено на рисунке, необходимо идентифицировать функции, соответствующие каждому из графиков.

На рисунке изображены два графика:

1. Кривая, выходящая из начала координат $(0,0)$ и проходящая через точки $(1,1)$ и $(4,2)$. Это график функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$.
2. Прямая линия. Это график линейной функции вида $y = kx + b$. Определим её параметры по точкам на графике. Прямая проходит через точки $(0, -1)$ и $(2, 0)$.
   • Точка пересечения с осью $y$ дает нам значение $b$. В данном случае, $b = -1$.
   • Угловой коэффициент $k$ (наклон прямой) можно найти по двум точкам: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-1)}{2 - 0} = \frac{1}{2} = 0,5$.
   Таким образом, уравнение прямой: $y = 0,5x - 1$.

Графическое решение уравнения заключается в нахождении точек пересечения графиков функций его левой и правой частей. В данном случае, это графики $y = \sqrt{x}$ и $y = 0,5x - 1$. Следовательно, искомое уравнение имеет вид: $\sqrt{x} = 0,5x - 1$.

Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:

1) $x^2 = 0,5x - 1$

Это уравнение соответствует пересечению параболы $y=x^2$ и прямой $y=0,5x-1$. На рисунке изображен график $y=\sqrt{x}$, а не $y=x^2$. Вариант неверный.

2) $x^2 = 1 - 0,5x$

Это уравнение соответствует пересечению параболы $y=x^2$ и прямой $y=1-0,5x$. На рисунке изображен график $y=\sqrt{x}$, а не $y=x^2$. Вариант неверный.

3) $\sqrt{x} = 0,5x - 1$

Это уравнение соответствует пересечению графика функции $y=\sqrt{x}$ и прямой $y=0,5x-1$. Как было определено выше, именно эти графики изображены на рисунке. Этот вариант является правильным.

4) $\sqrt{x} = 1 - 0,5x$

Это уравнение соответствует пересечению графика $y=\sqrt{x}$ и прямой $y=1-0,5x$. Прямая $y=1-0,5x$ имеет отрицательный наклон ($k=-0,5$) и пересекает ось $y$ в точке $(0,1)$, что не соответствует прямой, изображенной на рисунке. Вариант неверный.

Ответ: 3