Страница 135 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{4,9}$, $\sqrt{490}$, $\sqrt{0,049}$, $\sqrt{0,0049}$ является рациональным?

1) $\sqrt{4,9}$

2) $\sqrt{490}$

3) $\sqrt{0,049}$

4) $\sqrt{0,0049}$

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Корень квадратный из неотрицательного числа является рациональным числом только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом некоторого рационального числа. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $\sqrt{4,9}$

Представим подкоренное выражение в виде дроби: $4,9 = \frac{49}{10}$. Тогда $\sqrt{4,9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$. Поскольку 10 не является квадратом целого числа, $\sqrt{10}$ — иррациональное число. Следовательно, и всё выражение $\frac{7}{\sqrt{10}}$ иррационально.

2) $\sqrt{490}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $490 = 49 \cdot 10 = 7^2 \cdot 10$. Тогда $\sqrt{490} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = 7\sqrt{10}$. Поскольку $\sqrt{10}$ — иррациональное число, произведение $7\sqrt{10}$ также иррационально.

3) $\sqrt{0,049}$

Представим подкоренное выражение в виде дроби: $0,049 = \frac{49}{1000}$. Тогда $\sqrt{0,049} = \sqrt{\frac{49}{1000}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{1000}} = \frac{7}{\sqrt{100 \cdot 10}} = \frac{7}{10\sqrt{10}}$. Наличие иррационального множителя $\sqrt{10}$ в знаменателе делает всё число иррациональным.

4) $\sqrt{0,0049}$

Представим подкоренное выражение в виде дроби: $0,0049 = \frac{49}{10000}$. Тогда $\sqrt{0,0049} = \sqrt{\frac{49}{10000}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{10000}} = \frac{7}{100}$. Число $\frac{7}{100}$ (или 0,07) является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Это единственное рациональное число из предложенных.

Ответ: 4) $\sqrt{0,0049}$

2. Укажите наименьшее из приведённых чисел.

1) $\sqrt{17}$

2) $2\sqrt{5}$

3) $4$

4) $3\sqrt{2}$

Чтобы найти наименьшее из приведённых чисел, необходимо сравнить их между собой. Самый удобный способ для этого — возвести каждое число в квадрат. Так как все числа положительные, то наименьшему числу будет соответствовать наименьший квадрат.

1) $\sqrt{17}$

Возведем число в квадрат:

$(\sqrt{17})^2 = 17$

2) $2\sqrt{5}$

Возведем число в квадрат, используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

3) 4

Возведем число в квадрат:

$4^2 = 16$

4) $3\sqrt{2}$

Возведем число в квадрат:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Теперь мы имеем квадраты исходных чисел: 17, 20, 16 и 18.

Сравним эти значения и расположим их в порядке возрастания:

$16 < 17 < 18 < 20$

Наименьший квадрат — это 16, он соответствует исходному числу 4.

Следовательно, наименьшее из приведённых чисел — это 4.

Ответ: 4

3. Дано множество $A = \{a, b, c\}$. Укажите неверное утверждение.

1) ${a} \subset A$

2) ${a, b} \subset A$

3) $A \cap \emptyset = A$

4) $A \subset A$

Для того чтобы найти неверное утверждение, проанализируем каждое из них на истинность, учитывая, что дано множество $A = \{a, b, c\}$.

1) $\{a\} \subset A$

Это утверждение гласит, что множество, состоящее из элемента 'a', является подмножеством множества $A$. По определению, множество $X$ является подмножеством множества $Y$, если все элементы $X$ также являются элементами $Y$. Элемент 'a' принадлежит множеству $A$, поэтому множество $\{a\}$ является подмножеством $A$. Утверждение верно.

2) $\{a, b\} \subset A$

Это утверждение гласит, что множество $\{a, b\}$ является подмножеством множества $A$. Элементы 'a' и 'b' принадлежат множеству $A$. Следовательно, множество $\{a, b\}$ является подмножеством $A$. Утверждение верно.

3) $A \cap \emptyset = A$

Это утверждение описывает пересечение множества $A$ с пустым множеством ($\emptyset$). Пересечение множеств — это множество, состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Поскольку в пустом множестве нет элементов, у него не может быть общих элементов с каким-либо другим множеством. Таким образом, пересечение любого множества с пустым множеством всегда равно пустому множеству: $A \cap \emptyset = \emptyset$. Утверждение $A \cap \emptyset = A$ было бы верным только если бы $A$ само было пустым множеством, что не так. Следовательно, данное утверждение неверно.

4) $A \subset A$

Это утверждение гласит, что множество $A$ является подмножеством самого себя. Любое множество является своим подмножеством, так как каждый его элемент принадлежит ему же. Это является свойством рефлексивности для отношения включения. Утверждение верно.

Ответ: 3

4. Упростите выражение $\frac{\sqrt{216m^5}}{\sqrt{6m^3}}$.

1) $36m$

2) $6m$

3) $-6m$

4) $6m^2$

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{216m^5}}{\sqrt{6m^3}}$ воспользуемся свойством частного корней, которое гласит, что $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$. Применив это свойство, мы можем объединить оба корня в один:

$$ \frac{\sqrt{216m^5}}{\sqrt{6m^3}} = \sqrt{\frac{216m^5}{6m^3}} $$

Далее, упростим выражение под знаком корня. Для этого разделим числовые коэффициенты и степени переменной $m$ по отдельности.

Деление коэффициентов:

$$ 216 \div 6 = 36 $$

Деление переменных с использованием правила деления степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$:

$$ \frac{m^5}{m^3} = m^{5-3} = m^2 $$

Теперь подставим упрощенные части обратно под корень:

$$ \sqrt{36m^2} $$

Извлечем квадратный корень из полученного выражения:

$$ \sqrt{36m^2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{m^2} = 6 \cdot |m| $$

Чтобы определить, как раскрыть модуль $|m|$, рассмотрим область допустимых значений исходного выражения. Выражение под корнем в знаменателе $6m^3$ должно быть строго положительным ($6m^3 > 0$), что выполняется при $m > 0$. Поскольку $m$ — положительное число, модуль $|m|$ равен $m$.

Таким образом, окончательное упрощенное выражение имеет вид:

$$ 6m $$

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту 2.

Ответ: $6m$

5. Графическое решение какого из приведённых уравнений изображено на рисунке?

1) $\sqrt{x} = x - 3$

2) $x^2 = 3 - x$

3) $\sqrt{x} = 3 - x$

4) $\sqrt{x} = \frac{3}{x}$

Графическое решение уравнения вида $f(x) = g(x)$ представляет собой нахождение абсцисс (координат $x$) точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
На рисунке изображены два графика.

1. Первый график — это кривая, выходящая из начала координат. Это стандартный график функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \geq 0$, что соответствует изображению.

2. Второй график — это прямая линия. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон), а $b$ — точка пересечения с осью $y$.

• Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$. Следовательно, $b = 3$. Уравнение принимает вид $y = kx + 3$.
• Также прямая пересекает ось $x$ в точке $(3, 0)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти $k$:
  $0 = k \cdot 3 + 3$
  $3k = -3$
  $k = -1$
• Таким образом, уравнение прямой: $y = -1 \cdot x + 3$, или $y = 3 - x$.

Точки пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = 3 - x$ являются решением уравнения, в котором левая и правая части равны выражениям для этих функций: $\sqrt{x} = 3 - x$.

Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:
1) $\sqrt{x} = x - 3$
2) $x^2 = 3 - x$
3) $\sqrt{x} = 3 - x$
4) $\sqrt{x} = \frac{3}{x}$

Полученное нами уравнение совпадает с вариантом 3.

Ответ: 3