Страница 138 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. При каком значении $m$ уравнение $3x^2 - 7x + 2m = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $3x^2 - 7x + 2m = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Квадратное уравнение имеет единственный корень (или два совпадающих действительных корня) тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении коэффициенты равны:
$a = 3$
$b = -7$
$c = 2m$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2m)$
$D = 49 - 24m$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $m$, при котором уравнение имеет единственный корень:
$49 - 24m = 0$

Теперь решим это уравнение относительно $m$:
$24m = 49$
$m = \frac{49}{24}$

Это значение можно также записать в виде смешанной дроби: $m = 2\frac{1}{24}$.

Ответ: $m = \frac{49}{24}$

8. Решите уравнение $(3x-1)^2 = 6 - 2x - 3x^2$.

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3x-1)^2 = 6 - 2x - 3x^2$

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 6 - 2x - 3x^2$

$9x^2 - 6x + 1 = 6 - 2x - 3x^2$

Теперь перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменяя их знаки на противоположные, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.

$9x^2 - 6x + 1 - 6 + 2x + 3x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 + 3x^2) + (-6x + 2x) + (1 - 6) = 0$

$12x^2 - 4x - 5 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение, где коэффициенты равны: $a = 12$, $b = -4$, $c = -5$.

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 16 + 240 = 256$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

$x_1 = \frac{-(-4) + 16}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 16}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

$x_2 = \frac{-(-4) - 16}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 16}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{5}{6}$

9. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 156. Найдите сумму этих чисел.

Обозначим первое натуральное число как $n$. Поскольку числа последовательные, второе натуральное число будет равно $n + 1$.

По условию задачи, их произведение равно 156. Составим и решим уравнение:
$n \cdot (n + 1) = 156$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$n^2 + n = 156$
$n^2 + n - 156 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625$

Теперь вычислим значения $n$:
$n_1 = \frac{-1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 25}{2} = \frac{-26}{2} = -13$
$n_2 = \frac{-1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 25}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Так как по условию числа являются натуральными, корень $n_1 = -13$ не подходит. Следовательно, первое число равно 12.

Второе последовательное число равно $n + 1 = 12 + 1 = 13$.

Проверим: $12 \cdot 13 = 156$. Условие выполняется.

Теперь найдем сумму этих чисел:
$12 + 13 = 25$

Ответ: 25

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{8}$.

Чтобы составить квадратное уравнение, зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, уравнение будет иметь вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

В данной задаче корни равны $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{8}$.

Для начала упростим второй корень:

$x_2 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Теперь последовательно найдем сумму и произведение корней.

1. Сумма корней:

$x_1 + x_2 = -\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (2-1)\sqrt{2} = \sqrt{2}$

2. Произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = -2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = -2 \cdot 2 = -4$

Теперь подставим найденные значения суммы $(\sqrt{2})$ и произведения $(-4)$ в общую формулу квадратного уравнения:

$x^2 - (\sqrt{2})x + (-4) = 0$

Упростив выражение, получаем искомое уравнение:

$x^2 - \sqrt{2}x - 4 = 0$

Ответ: $x^2 - \sqrt{2}x - 4 = 0$

11. При каких значениях переменной не имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 - 2x} + \frac{1}{x^2 + x - 6}$?

Данное выражение представляет собой сумму двух алгебраических дробей. Выражение не имеет смысла в том случае, когда знаменатель хотя бы одной из дробей равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатели дробей обращаются в ноль.

1. Приравняем к нулю знаменатель первой дроби $\frac{1}{x^2 - 2x}$:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два значения:

$x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

2. Приравняем к нулю знаменатель второй дроби $\frac{1}{x^2 + x - 6}$:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни:

$x_3 = -3$

$x_4 = 2$

Таким образом, мы нашли все значения переменной, при которых хотя бы один из знаменателей равен нулю. Это $x = -3$, $x = 0$ и $x = 2$. При этих значениях $x$ данное выражение не имеет смысла.

Ответ: при $x = -3$, $x = 0$, $x = 2$.

12. Решите уравнение $x^2 + 6(\sqrt{x})^2 - 72 = 0$.

Исходное уравнение: $x^2 + 6(\sqrt{x})^2 - 72 = 0$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку в уравнении присутствует квадратный корень из $x$, подкоренное выражение не может быть отрицательным.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Далее, упростим уравнение, используя свойство квадратного корня: $(\sqrt{x})^2 = x$ для всех $x$ из ОДЗ.

Подставив это в исходное уравнение, получим:

$x^2 + 6x - 72 = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=6$, $c=-72$.

Вычислим дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.

$x_1 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-6 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$, значит, он является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию $-12 \ge 0$, следовательно, он является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 6