Страница 142 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Решите уравнение

$(5x - 2)^2 = 6 - 19x + 4x^2.$

Для решения данного уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(5x - 2)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4$

2. Подставить полученное выражение в исходное уравнение:

$25x^2 - 20x + 4 = 6 - 19x + 4x^2$

3. Перенести все члены уравнения в одну сторону (в левую), чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$25x^2 - 20x + 4 - 6 + 19x - 4x^2 = 0$

4. Привести подобные слагаемые:

$(25x^2 - 4x^2) + (-20x + 19x) + (4 - 6) = 0$

$21x^2 - x - 2 = 0$

5. Решить полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=21$, $b=-1$, $c=-2$.

Вычисляем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-2) = 1 + 168 = 169$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

6. Найти корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{1 + 13}{42} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{1 - 13}{42} = \frac{-12}{42} = -\frac{2}{7}$

Корнями уравнения являются $x = \frac{1}{3}$ и $x = -\frac{2}{7}$.

Ответ: $-\frac{2}{7}; \frac{1}{3}$.

9. Произведение двух последовательных натуральных нечётных чисел равно 323. Найдите сумму этих чисел.

Обозначим первое из двух последовательных натуральных нечётных чисел как $n$. Поскольку числа нечётные и последовательные, второе число будет $n+2$.

Согласно условию задачи, их произведение равно 323. Составим и решим уравнение:

$n \cdot (n+2) = 323$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду:

$n^2 + 2n = 323$

$n^2 + 2n - 323 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдём его корни с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-323) = 4 + 1292 = 1296$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$

$n_1 = \frac{-2 + 36}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$n_2 = \frac{-2 - 36}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

В условии сказано, что числа натуральные, поэтому корень $n_2 = -19$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, первое число равно 17.

Второе число равно $n+2 = 17+2 = 19$.

Мы нашли два последовательных натуральных нечётных числа: 17 и 19. Проверим их произведение: $17 \cdot 19 = 323$.

Теперь найдём их сумму:

$17 + 19 = 36$

Ответ: 36

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $\sqrt{12}$ и $-\sqrt{3}$.

Чтобы составить квадратное уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно этой теореме, приведённое квадратное уравнение (т.е. уравнение, в котором коэффициент при $x^2$ равен 1) можно записать в виде:
$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$.

В условии задачи даны корни $x_1 = \sqrt{12}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
Для удобства вычислений упростим корень $x_1$:
$x_1 = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдём сумму и произведение данных корней:
1. Сумма корней:
$x_1 + x_2 = 2\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
2. Произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 2\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -2 \cdot (\sqrt{3})^2 = -2 \cdot 3 = -6$.

Подставим найденные значения суммы ($\sqrt{3}$) и произведения ($-6$) в общую формулу квадратного уравнения:
$x^2 - (\sqrt{3})x + (-6) = 0$
$x^2 - \sqrt{3}x - 6 = 0$.

Это и есть искомое квадратное уравнение.
Ответ: $x^2 - \sqrt{3}x - 6 = 0$.

11. При каких значениях переменной не имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 - 5x} + \frac{1}{x^2 - 2x - 15}$?

Данное выражение представляет собой сумму двух алгебраических дробей. Дробное выражение не имеет смысла тогда, когда его знаменатель равен нулю. Чтобы найти все значения переменной, при которых данное выражение не имеет смысла, необходимо найти значения, при которых хотя бы один из знаменателей обращается в ноль.

1. Найдем значения $x$, при которых знаменатель первой дроби равен нулю.
Приравняем знаменатель первой дроби к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x - 5 = 0$, откуда $x_2 = 5$.

2. Найдем значения $x$, при которых знаменатель второй дроби равен нулю.
Приравняем знаменатель второй дроби к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-15$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_3 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_4 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Объединяя все найденные значения, при которых знаменатели обращаются в ноль, мы получаем, что исходное выражение не имеет смысла при $x = -3$, $x = 0$ и $x = 5$.

Ответ: $-3; 0; 5$.

12. Решите уравнение

$x^2 + 2(\sqrt{x})^2 - 48 = 0.$

Исходное уравнение: $x^2 + 2(\sqrt{x})^2 - 48 = 0$.

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку в уравнении присутствует квадратный корень $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

Далее упростим уравнение. По определению квадратного корня, для любого $x \ge 0$ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Заменим $(\sqrt{x})^2$ на $x$ в исходном уравнении:

$x^2 + 2x - 48 = 0$.

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать формулу корней через дискриминант или теорему Виета.

Решение через дискриминант:

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=2$, $c=-48$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$.

Решение по теореме Виета:

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p=2$ и $q=-48$.

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -48$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$, так как $6 + (-8) = -2$ и $6 \cdot (-8) = -48$.

Последний шаг — проверка найденных корней на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$, значит, он является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $-8 \ge 0$, поэтому он является посторонним корнем и не входит в ответ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 6