Номер 11, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. При каких значениях переменной не имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 - 5x} + \frac{1}{x^2 - 2x - 15}$?

Данное выражение представляет собой сумму двух алгебраических дробей. Дробное выражение не имеет смысла тогда, когда его знаменатель равен нулю. Чтобы найти все значения переменной, при которых данное выражение не имеет смысла, необходимо найти значения, при которых хотя бы один из знаменателей обращается в ноль.

1. Найдем значения $x$, при которых знаменатель первой дроби равен нулю.
Приравняем знаменатель первой дроби к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x - 5 = 0$, откуда $x_2 = 5$.

2. Найдем значения $x$, при которых знаменатель второй дроби равен нулю.
Приравняем знаменатель второй дроби к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-15$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_3 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_4 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Объединяя все найденные значения, при которых знаменатели обращаются в ноль, мы получаем, что исходное выражение не имеет смысла при $x = -3$, $x = 0$ и $x = 5$.

Ответ: $-3; 0; 5$.