Номер 12, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Решите уравнение

$x^2 + 2(\sqrt{x})^2 - 48 = 0.$

Исходное уравнение: $x^2 + 2(\sqrt{x})^2 - 48 = 0$.

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку в уравнении присутствует квадратный корень $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

Далее упростим уравнение. По определению квадратного корня, для любого $x \ge 0$ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Заменим $(\sqrt{x})^2$ на $x$ в исходном уравнении:

$x^2 + 2x - 48 = 0$.

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать формулу корней через дискриминант или теорему Виета.

Решение через дискриминант:

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=2$, $c=-48$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$.

Решение по теореме Виета:

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p=2$ и $q=-48$.

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -48$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$, так как $6 + (-8) = -2$ и $6 \cdot (-8) = -48$.

Последний шаг — проверка найденных корней на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$, значит, он является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $-8 \ge 0$, поэтому он является посторонним корнем и не входит в ответ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 6