Номер 6, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

А) $x^2 - 3x + 4 = 0$

Б) $x^2 - 3x - 4 = 0$

В) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Множество корней

1) $\emptyset$

2) $\{1, 4\}$

3) $\{-1, 4\}$

4) $\{1, -4\}$

5) $\{-1, -4\}$

Для установления соответствия необходимо решить каждое уравнение из левого столбца и найти множество его корней.

А) $x^2 - 3x + 4 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения найдем его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=4$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, множество его корней — пустое множество, которое обозначается как $\emptyset$.
Это соответствует варианту 1) в правом столбце.

Ответ: 1.

Б) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Найдем дискриминант для этого уравнения, где $a=1$, $b=-3$, $c=-4$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Множество корней уравнения — $\{-1, 4\}$.
Это соответствует варианту 3) в правом столбце.

Ответ: 3.

В) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Согласно теореме, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.
В данном случае $p=-5$ и $q=4$.
$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$, так как их сумма $1+4=5$ и произведение $1 \cdot 4=4$.
Множество корней уравнения — $\{1, 4\}$.
Это соответствует варианту 2) в правом столбце.

Ответ: 2.