Номер 3, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Укажите уравнение, корнями которого являются два противоположных иррациональных числа.

1) $x^2 - x\sqrt{3} = 0$

2) $x^2 - 3x = 0$

3) $x^2 - 3 = 0$

4) $x^2 + 3x = 0$

Заданное условие требует, чтобы у уравнения было два корня, которые являются противоположными иррациональными числами.
Пусть корни уравнения — $x_1$ и $x_2$.
- "Противоположные числа" означает, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.
- "Иррациональные числа" означает, что они не могут быть представлены в виде простой дроби (например, $\sqrt{2}$ или $\sqrt{3}$).

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$. Чтобы сумма корней была равна нулю, необходимо, чтобы коэффициент $b$ был равен нулю. Таким образом, уравнение должно иметь вид $ax^2 + c = 0$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 - x\sqrt{3} = 0$
В этом уравнении коэффициент $b = -\sqrt{3} \neq 0$, поэтому его корни не являются противоположными. Решив уравнение $x(x - \sqrt{3}) = 0$, получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

2) $x^2 - 3x = 0$
Здесь коэффициент $b = -3 \neq 0$, значит, корни не являются противоположными. Решив уравнение $x(x - 3) = 0$, получаем рациональные корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

3) $x^2 - 3 = 0$
В этом уравнении коэффициент $b = 0$, что соответствует условию о противоположных корнях. Решим его:
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$
Корни уравнения $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Эти корни являются противоположными ($\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$) и иррациональными (так как 3 не является точным квадратом). Этот вариант удовлетворяет всем условиям.

4) $x^2 + 3x = 0$
Здесь коэффициент $b = 3 \neq 0$, поэтому корни не являются противоположными. Решив уравнение $x(x + 3) = 0$, получаем рациональные корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Ответ: 3