Страница 145 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Найдите корни квадратного трёхчлена $2x^2 + x - 3$.

1) -3; 2

2) -2; 3

3) -1,5; 1

4) -1; 1,5

Чтобы найти корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 3$, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$2x^2 + x - 3 = 0$

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты:

$a = 2$, $b = 1$, $c = -3$

Для решения найдем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 - (-24) = 1 + 24 = 25$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Корни квадратного трехчлена равны $1$ и $-1,5$. Этот вариант соответствует пункту 3).

Ответ: 3) -1,5; 1

2. Разложив квадратный трёхчлен на множители, получили: $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - a)$. Найдите значение $a$.

1) 5

2) -5

3) 10

4) -10

Для нахождения значения a в равенстве $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - a)$ можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Раскрытие скобок и сравнение коэффициентов

Раскроем скобки в правой части данного тождества:

$(x - 7)(x - a) = x \cdot x - x \cdot a - 7 \cdot x + (-7) \cdot (-a) = x^2 - ax - 7x + 7a$.

Сгруппируем члены, содержащие x:

$x^2 - (a + 7)x + 7a$.

Теперь мы имеем равенство двух многочленов:

$x^2 - 2x - 35 = x^2 - (a + 7)x + 7a$.

Это равенство будет верным для любого значения x только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равны. Приравняем свободные члены (константы):

$7a = -35$.

Отсюда находим a:

$a = \frac{-35}{7} = -5$.

Для проверки можно также приравнять коэффициенты при первой степени x:

$-2 = -(a + 7)$, что равносильно $2 = a + 7$.

Отсюда также получаем $a = 2 - 7 = -5$.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Разложение квадратного трёхчлена на множители $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$ означает, что $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

В нашем случае из разложения $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - a)$ следует, что корнями уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$ являются числа $x_1 = 7$ и $x_2 = a$.

По теореме Виета, произведение корней приведенного квадратного уравнения равно его свободному члену. Свободный член в нашем уравнении равен -35.

Следовательно, $x_1 \cdot x_2 = -35$.

Подставим известные значения корней:

$7 \cdot a = -35$.

Разделив обе части на 7, получим:

$a = -5$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -5.

3. Укажите верное равенство.

1) $3x^2 + x - 10 = \left(x - \frac{5}{3}\right)(x + 2)$

2) $3x^2 + x - 10 = \left(x + \frac{5}{3}\right)(x - 2)$

3) $3x^2 + x - 10 = (3x - 5)(x + 2)$

4) $3x^2 + x - 10 = (3x + 5)(x - 2)$

Для определения верного равенства можно разложить квадратный трехчлен $3x^2 + x - 10$ на множители. Для этого необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + x - 10 = 0$.

1. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$.

2. Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 11}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 11}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

3. Разложим трехчлен на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$3x^2 + x - 10 = 3(x - (-2))(x - \frac{5}{3}) = 3(x + 2)(x - \frac{5}{3})$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 3 в скобку $(x - \frac{5}{3})$, получим: $3(x - \frac{5}{3}) = 3x - 5$.

Таким образом, разложение имеет вид $(3x - 5)(x + 2)$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $3x^2 + x - 10 = (x - \frac{5}{3})(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(x - \frac{5}{3})(x + 2) = x^2 + 2x - \frac{5}{3}x - \frac{10}{3} = x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{10}{3}$. Полученное выражение не равно $3x^2 + x - 10$.

Ответ: равенство неверно.

2) $3x^2 + x - 10 = (x + \frac{5}{3})(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(x + \frac{5}{3})(x - 2) = x^2 - 2x + \frac{5}{3}x - \frac{10}{3} = x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{10}{3}$. Полученное выражение не равно $3x^2 + x - 10$.

Ответ: равенство неверно.

3) $3x^2 + x - 10 = (3x - 5)(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(3x - 5)(x + 2) = 3x^2 + 6x - 5x - 10 = 3x^2 + x - 10$. Полученное выражение совпадает с левой частью равенства.

Ответ: равенство верно.

4) $3x^2 + x - 10 = (3x + 5)(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(3x + 5)(x - 2) = 3x^2 - 6x + 5x - 10 = 3x^2 - x - 10$. Полученное выражение не равно $3x^2 + x - 10$.

Ответ: равенство неверно.

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{4 + 3x - x^2}{x+1}$. Укажите этот рисунок.

1) 2) 3) 4)

Рассмотрим функцию $y = \frac{4 + 3x - x^2}{x + 1}$.

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Это означает, что на графике функции в точке с абсциссой $x=-1$ будет разрыв, то есть "выколотая" точка.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель $4 + 3x - x^2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1, чтобы получить $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, числитель можно представить в виде: $-x^2 + 3x + 4 = -(x - 4)(x - (-1)) = -(x-4)(x+1) = (4-x)(x+1)$.

Подставим разложенный числитель обратно в исходную функцию: $y = \frac{(4 - x)(x + 1)}{x + 1}$.

При условии, что $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 1)$: $y = 4 - x$.

Итак, график исходной функции является прямой $y = 4 - x$ с выколотой точкой при $x = -1$.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса нам известна: $x = -1$. Чтобы найти ординату, подставим это значение в уравнение прямой $y = 4 - x$: $y = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$. Следовательно, выколотая точка имеет координаты $(-1, 5)$.

Теперь проанализируем предложенные графики. Нам нужна убывающая прямая (угловой коэффициент в уравнении $y = -1 \cdot x + 4$ равен -1), на которой выколота точка $(-1, 5)$.
- Графики 1 и 2 изображают возрастающие прямые, поэтому они не подходят.
- График 3 изображает убывающую прямую, но она сплошная, без выколотых точек.
- График 4 изображает убывающую прямую, и на ней есть выколотая точка. Проверим её координаты по рисунку: абсцисса равна -1, ордината равна 5. Это полностью соответствует нашим расчетам.

Следовательно, искомый график изображён на рисунке 4.
Ответ: 4