Страница 152 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 30 км, выехал велосипедист. Через 1 ч после этого следом за ним со скоростью, на 15 км/ч большей, выехал трактор. В пункт В велосипедист и трактор прибыли одновременно.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{30}{x-15} - \frac{30}{x} = 1$

2) $\frac{30}{x+15} - \frac{30}{x} = 1$

3) $\frac{30}{x} - \frac{30}{x-15} = 1$

4) $\frac{30}{x} - \frac{30}{x+15} = 1$

Для того чтобы определить, какое из уравнений является математической моделью данной ситуации, проанализируем условие задачи и выразим зависимости через переменные.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Расстояние от пункта А до пункта В составляет 30 км. Тогда время, которое велосипедист затратил на весь путь, равно:

$t_{велосипедиста} = \frac{S}{v} = \frac{30}{x}$ ч.

По условию, трактор выехал на 1 час позже велосипедиста, а его скорость была на 15 км/ч больше. Следовательно, скорость трактора составляет $(x + 15)$ км/ч. Время, которое трактор затратил на тот же путь, равно:

$t_{трактора} = \frac{S}{v} = \frac{30}{x + 15}$ ч.

Так как трактор выехал на 1 час позже, а прибыли они одновременно, это означает, что велосипедист был в пути на 1 час дольше, чем трактор. Таким образом, разница во времени их движения составляет 1 час. Составим уравнение:

$t_{велосипедиста} - t_{трактора} = 1$

Подставим в это уравнение выражения для времени:

$\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 15} = 1$

Это уравнение показывает, что время движения велосипедиста (большее значение, так как скорость меньше) минус время движения трактора (меньшее значение, так как скорость больше) равно 1 часу. Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту 4).

Ответ: 4) $\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 15} = 1$

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

Множество корней

А) $\frac{x-4}{x^2-5x+4} = 0$

1) $\{-10, 1\}$

Б) $(\sqrt{x}-1)(x^2+9x-10)=0$

2) $\{1\}$

В) $\frac{x^2+6x-40}{x-4}=0$

3) $\{-10\}$

4) $\{-10, 4\}$

5) $\emptyset$

А) Решим уравнение $ \frac{x - 4}{x^2 - 5x + 4} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ x - 4 = 0 $
$ x = 4 $

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$ x^2 - 5x + 4 \neq 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 5x + 4 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 4 $.
Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq 4 $.

3. Сравним корень, полученный из числителя, с ОДЗ. Корень $ x = 4 $ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель равен нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Множество корней — пустое множество ($ \emptyset $). Это соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5.

Б) Решим уравнение $ (\sqrt{x} - 1)(x^2 + 9x - 10) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а все выражения в уравнении при этом имеют смысл (определены).

1. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием для квадратного корня: $ x \ge 0 $.

2. Приравняем каждый множитель к нулю:
а) $ \sqrt{x} - 1 = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 $.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ 1 \ge 0 $).
б) $ x^2 + 9x - 10 = 0 $.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-9 - 11}{2} = -10 $ и $ x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1 $.

3. Проверим все найденные потенциальные корни ($1$ и $-10$) на соответствие ОДЗ ($ x \ge 0 $):
$ x = 1 $ — удовлетворяет ОДЗ.
$ x = -10 $ — не удовлетворяет ОДЗ, так как $ -10 < 0 $.

Таким образом, единственным корнем уравнения является $ x = 1 $. Множество корней — {1}. Это соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2.

В) Решим уравнение $ \frac{x^2 + 6x - 40}{x - 4} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ x^2 + 6x - 40 = 0 $.
По теореме Виета, сумма корней равна -6, а их произведение равно -40. Следовательно, корни $ x_1 = -10 $ и $ x_2 = 4 $.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$ x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4 $.

3. Сравним корни, полученные из числителя, с ОДЗ:
$ x = -10 $ — удовлетворяет ОДЗ.
$ x = 4 $ — не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель равен нулю.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $ x = -10 $. Множество корней — {-10}. Это соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: 3.