Страница 154 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Найдите корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 13x + 4$.

1) $-\frac{1}{3}; -4$

2) $-\frac{1}{3}; 4$

3) $-\frac{2}{3}; -2$

4) $\frac{2}{3}; 2$

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 13x + 4$, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - 13x + 4 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами:

$a = 3$, $b = -13$, $c = 4$

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{121} = 11$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

Первый корень:

$x_1 = \frac{-(-13) + 11}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-(-13) - 11}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Таким образом, корнями данного квадратного трёхчлена являются числа $4$ и $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 4$

2. Разложив квадратный трёхчлен на множители, получили: $x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x - a)$. Найдите значение $a$.

1) 3

2) 2

3) -3

4) -2

Чтобы найти значение $a$, необходимо раскрыть скобки в правой части данного тождества и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ в левой и правой частях.

Исходное равенство:

$x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x - a)$

Раскроем скобки в выражении $(x - 9)(x - a)$:

$(x - 9)(x - a) = x \cdot x - x \cdot a - 9 \cdot x + 9 \cdot a = x^2 - ax - 9x + 9a$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$:

$x^2 - (a + 9)x + 9a$

Теперь приравняем полученное выражение к исходному квадратному трёхчлену:

$x^2 - 7x - 18 = x^2 - (a + 9)x + 9a$

Для того чтобы это равенство было верным для любого значения $x$, коэффициенты при соответствующих степенях $x$ в обеих частях должны быть равны.

1. Приравняем коэффициенты при $x$:

$-7 = -(a + 9)$

$7 = a + 9$

$a = 7 - 9$

$a = -2$

2. Приравняем свободные члены (константы):

$-18 = 9a$

$a = \frac{-18}{9}$

$a = -2$

Оба уравнения дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $-2$

3. Укажите верное равенство.

1) $2x^2 + 7x - 4 = (x - 0,5)(x + 4)$

2) $2x^2 + 7x - 4 = (x + 0,5)(x - 4)$

3) $2x^2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4)$

4) $2x^2 + 7x - 4 = (2x + 1)(x - 4)$

Для того чтобы указать верное равенство, необходимо проверить каждый из предложенных вариантов. Сделаем это, раскрыв скобки в правой части каждого равенства и сравнив результат с выражением в левой части, $2x^2 + 7x - 4$.

1) $2x^2 + 7x - 4 = (x - 0,5)(x + 4)$

Раскроем скобки в правой части, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(x - 0,5)(x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 - 0,5 \cdot x - 0,5 \cdot 4 = x^2 + 4x - 0,5x - 2$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (4 - 0,5)x - 2 = x^2 + 3,5x - 2$.

Сравним полученный результат с левой частью: $x^2 + 3,5x - 2 \neq 2x^2 + 7x - 4$. Равенство не является верным.

Ответ: неверно.

2) $2x^2 + 7x - 4 = (x + 0,5)(x - 4)$

Раскроем скобки в правой части:

$(x + 0,5)(x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) + 0,5 \cdot x + 0,5 \cdot (-4) = x^2 - 4x + 0,5x - 2$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-4 + 0,5)x - 2 = x^2 - 3,5x - 2$.

Сравним полученный результат с левой частью: $x^2 - 3,5x - 2 \neq 2x^2 + 7x - 4$. Равенство не является верным.

Ответ: неверно.

3) $2x^2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4)$

Раскроем скобки в правой части:

$(2x - 1)(x + 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 = 2x^2 + 8x - x - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + (8 - 1)x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$.

Полученный результат полностью совпадает с левой частью равенства. Следовательно, это равенство является верным.

Ответ: верно.

4) $2x^2 + 7x - 4 = (2x + 1)(x - 4)$

Раскроем скобки в правой части:

$(2x + 1)(x - 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-4) = 2x^2 - 8x + x - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + (-8 + 1)x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.

Сравним полученный результат с левой частью: $2x^2 - 7x - 4 \neq 2x^2 + 7x - 4$. Равенство не является верным.

Ответ: неверно.

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{3 + 2x - x^2}{x - 3}$. Укажите этот рисунок.

1) 2) 3) 4)

Для того чтобы определить, какой из рисунков соответствует графику функции $y = \frac{3 + 2x - x^2}{x - 3}$, необходимо проанализировать и упростить данную функцию.

1. Найдем область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Это значит, что график функции имеет выколотую точку при $x = 3$.

2. Упростим выражение для функции.
Разложим числитель $3 + 2x - x^2$ на множители. Для этого сначала приравняем его к нулю и найдем корни квадратного трехчлена $-x^2 + 2x + 3$:
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, квадратный трехчлен $-x^2 + 2x + 3$ можно разложить на множители: $-(x - 3)(x - (-1)) = -(x - 3)(x + 1)$.
Теперь подставим это выражение обратно в функцию:
$y = \frac{-(x - 3)(x + 1)}{x - 3}$

3. Получим уравнение графика.
При условии $x \neq 3$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 3)$:
$y = -(x + 1)$
$y = -x - 1$
Таким образом, график исходной функции — это прямая линия $y = -x - 1$ с выколотой точкой.

4. Найдем координаты выколотой точки.
Чтобы найти ординату выколотой точки, подставим ее абсциссу $x=3$ в уравнение прямой $y = -x - 1$:
$y = -3 - 1 = -4$.
Следовательно, координаты выколотой точки — $(3; -4)$.

5. Сравним полученный результат с предложенными рисунками.
Нам нужно найти график прямой $y = -x - 1$. Это убывающая прямая (угловой коэффициент $k = -1 < 0$), которая пересекает ось $y$ в точке $(0; -1)$.

• Графики 3 и 4 изображают возрастающие прямые, поэтому они не подходят.
• Графики 1 и 2 изображают убывающую прямую, проходящую через точку $(0; -1)$.
• Однако наш график должен иметь выколотую точку в $(3; -4)$. Это условие выполняется только для графика на рисунке 1.

Таким образом, искомый график изображен на рисунке 1.

Ответ: 1