Страница 153 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $\frac{x^2 + 5x - 66}{x^2 + 14x + 33}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель. Для разложения квадратных трехчленов вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.

1. Разложим на множители числитель: $x^2 + 5x - 66$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x - 66 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289 = 17^2$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$
$x_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$
Следовательно, разложение числителя на множители имеет вид:
$x^2 + 5x - 66 = (x - (-11))(x - 6) = (x + 11)(x - 6)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $x^2 + 14x + 33$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 14x + 33 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 = 8^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-14 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$
$x_2 = \frac{-14 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$
Следовательно, разложение знаменателя на множители имеет вид:
$x^2 + 14x + 33 = (x - (-11))(x - (-3)) = (x + 11)(x + 3)$.

3. Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим ее.

$\frac{x^2 + 5x - 66}{x^2 + 14x + 33} = \frac{(x + 11)(x - 6)}{(x + 11)(x + 3)}$

Общим множителем является $(x+11)$. Сокращаем дробь на этот множитель (при условии, что $x+11 \neq 0$, то есть $x \neq -11$):

$\frac{\cancel{(x + 11)}(x - 6)}{\cancel{(x + 11)}(x + 3)} = \frac{x - 6}{x + 3}$

Ответ: $\frac{x - 6}{x + 3}$.

8. Решите уравнение $x + \frac{18}{x} = -11$.

Дано уравнение: $x + \frac{18}{x} = -11$.

Это рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Чтобы решить уравнение, умножим обе его части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x \cdot (x + \frac{18}{x}) = -11 \cdot x$

Выполнив умножение, получаем:

$x^2 + 18 = -11x$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 11x + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=11$, $c=18$.

Формула для вычисления дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$

Так как дискриминант $D=49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 7}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Оба найденных корня, -2 и -9, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -9; -2

9. Решите уравнение

$ \frac{2x^2 + 9x + 4}{x^2 - 16} = 1 $

Данное уравнение является рациональным. Для его решения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), затем приведем его к квадратному уравнению, найдем корни и проверим их на соответствие ОДЗ.

Исходное уравнение:

$$ \frac{2x^2 + 9x + 4}{x^2 - 16} = 1 $$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x^2 - 16 \neq 0$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$:

$(x - 4)(x + 4) \neq 0$

Это означает, что $x - 4 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$.

Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Таким образом, ОДЗ: все действительные числа, кроме 4 и -4.

2. Решение уравнения

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 16$, так как мы уже установили, что он не равен нулю:

$2x^2 + 9x + 4 = 1 \cdot (x^2 - 16)$

$2x^2 + 9x + 4 = x^2 - 16$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$(2x^2 - x^2) + 9x + (4 + 16) = 0$

$x^2 + 9x + 20 = 0$

3. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

С помощью дискриминанта:

Для уравнения $x^2 + 9x + 20 = 0$ коэффициенты равны: $a=1, b=9, c=20$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

4. Проверка корней

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

• Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $-5 \neq 4$ и $-5 \neq -4$.
• Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условиям ОДЗ, так как при $x=-4$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x=-4$ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -5$.

Ответ: -5

10. Найдите корни уравнения

$(x^2 - 8x)^2 - 3(x^2 - 8x) - 54 = 0.$

Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $(x^2 - 8x)$ повторяется в уравнении.

Введем замену: пусть $t = x^2 - 8x$.

Подставим новую переменную $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 3t - 54 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его, найдя дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни $t_1$ и $t_2$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти корни исходного уравнения $x$.

Случай 1: $t = 9$

Подставляем значение $t_1$ в уравнение замены:

$x^2 - 8x = 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Найдем дискриминант $D_1$ этого уравнения:

$D_1 = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Случай 2: $t = -6$

Подставляем значение $t_2$ в уравнение замены:

$x^2 - 8x = -6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x + 6 = 0$

Найдем дискриминант $D_2$ этого уравнения:

$D_2 = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40$

Найдем корни $x_3$ и $x_4$:

$x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10}$

Таким образом, мы получили еще два корня:

$x_3 = 4 + \sqrt{10}$

$x_4 = 4 - \sqrt{10}$

Объединив все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $-1; 9; 4 - \sqrt{10}; 4 + \sqrt{10}$.

11. Всадник проскакал 10 км за 1 ч. Первые 6 км он проскакал с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость всадника.

Пусть первоначальная скорость всадника равна $v$ км/ч. Тогда время, затраченное на первые 6 км пути, составляет $t_1 = \frac{6}{v}$ ч.

Оставшийся путь равен $10 - 6 = 4$ км. Скорость на этом участке была на 3 км/ч больше, то есть $(v + 3)$ км/ч. Время, затраченное на второй участок пути, составляет $t_2 = \frac{4}{v+3}$ ч.

По условию, общее время в пути равно 1 часу. Составим уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{6}{v} + \frac{4}{v+3} = 1$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $v(v+3)$:

$\frac{6(v+3) + 4v}{v(v+3)} = 1$

Умножим обе части на $v(v+3)$, при условии что $v > 0$ (так как скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$6(v+3) + 4v = v(v+3)$

Раскроем скобки:

$6v + 18 + 4v = v^2 + 3v$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$10v + 18 = v^2 + 3v$

$v^2 + 3v - 10v - 18 = 0$

$v^2 - 7v - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость всадника составляет 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

12. Первая труба пропускает на 6 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 216 л она заполняет на 3 мин дольше, чем вторая?

Пусть $x$ л/мин — производительность (количество литров воды в минуту) первой трубы.

Согласно условию, первая труба пропускает на 6 л воды в минуту меньше, чем вторая. Это означает, что производительность второй трубы на 6 л/мин больше и составляет $(x + 6)$ л/мин.

Время, необходимое для заполнения резервуара, вычисляется по формуле $t = \frac{V}{P}$, где $V$ — объём резервуара, а $P$ — производительность трубы.

Объём резервуара $V = 216$ л.

Время, за которое первая труба заполнит резервуар: $t_1 = \frac{216}{x}$ мин.

Время, за которое вторая труба заполнит резервуар: $t_2 = \frac{216}{x+6}$ мин.

По условию, первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая. Это можно выразить уравнением:

$t_1 - t_2 = 3$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{216}{x} - \frac{216}{x+6} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Учитывая, что производительность $x$ должна быть положительной ($x > 0$), знаменатель $x(x+6)$ не равен нулю.

$\frac{216(x+6) - 216x}{x(x+6)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{216x + 1296 - 216x}{x^2 + 6x} = 3$

$\frac{1296}{x^2 + 6x} = 3$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 6x$:

$1296 = 3(x^2 + 6x)$

Разделим обе части на 3:

$432 = x^2 + 6x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 432 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18$

$x_2 = \frac{-6 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как производительность трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -24$ не соответствует условию задачи. Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 18$.

Таким образом, первая труба пропускает 18 литров воды в минуту.

Ответ: 18.