Номер 11, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Всадник проскакал 10 км за 1 ч. Первые 6 км он проскакал с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость всадника.

Пусть первоначальная скорость всадника равна $v$ км/ч. Тогда время, затраченное на первые 6 км пути, составляет $t_1 = \frac{6}{v}$ ч.

Оставшийся путь равен $10 - 6 = 4$ км. Скорость на этом участке была на 3 км/ч больше, то есть $(v + 3)$ км/ч. Время, затраченное на второй участок пути, составляет $t_2 = \frac{4}{v+3}$ ч.

По условию, общее время в пути равно 1 часу. Составим уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{6}{v} + \frac{4}{v+3} = 1$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $v(v+3)$:

$\frac{6(v+3) + 4v}{v(v+3)} = 1$

Умножим обе части на $v(v+3)$, при условии что $v > 0$ (так как скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$6(v+3) + 4v = v(v+3)$

Раскроем скобки:

$6v + 18 + 4v = v^2 + 3v$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$10v + 18 = v^2 + 3v$

$v^2 + 3v - 10v - 18 = 0$

$v^2 - 7v - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость всадника составляет 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.