Номер 12, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Первая труба пропускает на 6 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 216 л она заполняет на 3 мин дольше, чем вторая?

Пусть $x$ л/мин — производительность (количество литров воды в минуту) первой трубы.

Согласно условию, первая труба пропускает на 6 л воды в минуту меньше, чем вторая. Это означает, что производительность второй трубы на 6 л/мин больше и составляет $(x + 6)$ л/мин.

Время, необходимое для заполнения резервуара, вычисляется по формуле $t = \frac{V}{P}$, где $V$ — объём резервуара, а $P$ — производительность трубы.

Объём резервуара $V = 216$ л.

Время, за которое первая труба заполнит резервуар: $t_1 = \frac{216}{x}$ мин.

Время, за которое вторая труба заполнит резервуар: $t_2 = \frac{216}{x+6}$ мин.

По условию, первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая. Это можно выразить уравнением:

$t_1 - t_2 = 3$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{216}{x} - \frac{216}{x+6} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Учитывая, что производительность $x$ должна быть положительной ($x > 0$), знаменатель $x(x+6)$ не равен нулю.

$\frac{216(x+6) - 216x}{x(x+6)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{216x + 1296 - 216x}{x^2 + 6x} = 3$

$\frac{1296}{x^2 + 6x} = 3$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 6x$:

$1296 = 3(x^2 + 6x)$

Разделим обе части на 3:

$432 = x^2 + 6x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 432 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18$

$x_2 = \frac{-6 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как производительность трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -24$ не соответствует условию задачи. Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 18$.

Таким образом, первая труба пропускает 18 литров воды в минуту.

Ответ: 18.