Номер 9, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Решите уравнение

$ \frac{2x^2 + 9x + 4}{x^2 - 16} = 1 $

Данное уравнение является рациональным. Для его решения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), затем приведем его к квадратному уравнению, найдем корни и проверим их на соответствие ОДЗ.

Исходное уравнение:

$$ \frac{2x^2 + 9x + 4}{x^2 - 16} = 1 $$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x^2 - 16 \neq 0$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$:

$(x - 4)(x + 4) \neq 0$

Это означает, что $x - 4 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$.

Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Таким образом, ОДЗ: все действительные числа, кроме 4 и -4.

2. Решение уравнения

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 16$, так как мы уже установили, что он не равен нулю:

$2x^2 + 9x + 4 = 1 \cdot (x^2 - 16)$

$2x^2 + 9x + 4 = x^2 - 16$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$(2x^2 - x^2) + 9x + (4 + 16) = 0$

$x^2 + 9x + 20 = 0$

3. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

С помощью дискриминанта:

Для уравнения $x^2 + 9x + 20 = 0$ коэффициенты равны: $a=1, b=9, c=20$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

4. Проверка корней

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

• Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $-5 \neq 4$ и $-5 \neq -4$.
• Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условиям ОДЗ, так как при $x=-4$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x=-4$ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -5$.

Ответ: -5