Номер 4, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{3 + 2x - x^2}{x - 3}$. Укажите этот рисунок.

1) 2) 3) 4)

Для того чтобы определить, какой из рисунков соответствует графику функции $y = \frac{3 + 2x - x^2}{x - 3}$, необходимо проанализировать и упростить данную функцию.

1. Найдем область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Это значит, что график функции имеет выколотую точку при $x = 3$.

2. Упростим выражение для функции.
Разложим числитель $3 + 2x - x^2$ на множители. Для этого сначала приравняем его к нулю и найдем корни квадратного трехчлена $-x^2 + 2x + 3$:
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, квадратный трехчлен $-x^2 + 2x + 3$ можно разложить на множители: $-(x - 3)(x - (-1)) = -(x - 3)(x + 1)$.
Теперь подставим это выражение обратно в функцию:
$y = \frac{-(x - 3)(x + 1)}{x - 3}$

3. Получим уравнение графика.
При условии $x \neq 3$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 3)$:
$y = -(x + 1)$
$y = -x - 1$
Таким образом, график исходной функции — это прямая линия $y = -x - 1$ с выколотой точкой.

4. Найдем координаты выколотой точки.
Чтобы найти ординату выколотой точки, подставим ее абсциссу $x=3$ в уравнение прямой $y = -x - 1$:
$y = -3 - 1 = -4$.
Следовательно, координаты выколотой точки — $(3; -4)$.

5. Сравним полученный результат с предложенными рисунками.
Нам нужно найти график прямой $y = -x - 1$. Это убывающая прямая (угловой коэффициент $k = -1 < 0$), которая пересекает ось $y$ в точке $(0; -1)$.

• Графики 3 и 4 изображают возрастающие прямые, поэтому они не подходят.
• Графики 1 и 2 изображают убывающую прямую, проходящую через точку $(0; -1)$.
• Однако наш график должен иметь выколотую точку в $(3; -4)$. Это условие выполняется только для графика на рисунке 1.

Таким образом, искомый график изображен на рисунке 1.

Ответ: 1