Номер 10, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. Найдите корни уравнения

$(x^2 - 8x)^2 - 3(x^2 - 8x) - 54 = 0.$

Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $(x^2 - 8x)$ повторяется в уравнении.

Введем замену: пусть $t = x^2 - 8x$.

Подставим новую переменную $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 3t - 54 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его, найдя дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни $t_1$ и $t_2$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти корни исходного уравнения $x$.

Случай 1: $t = 9$

Подставляем значение $t_1$ в уравнение замены:

$x^2 - 8x = 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Найдем дискриминант $D_1$ этого уравнения:

$D_1 = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Случай 2: $t = -6$

Подставляем значение $t_2$ в уравнение замены:

$x^2 - 8x = -6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x + 6 = 0$

Найдем дискриминант $D_2$ этого уравнения:

$D_2 = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40$

Найдем корни $x_3$ и $x_4$:

$x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10}$

Таким образом, мы получили еще два корня:

$x_3 = 4 + \sqrt{10}$

$x_4 = 4 - \sqrt{10}$

Объединив все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $-1; 9; 4 - \sqrt{10}; 4 + \sqrt{10}$.