Номер 7, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $\frac{x^2 + 5x - 66}{x^2 + 14x + 33}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель. Для разложения квадратных трехчленов вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.

1. Разложим на множители числитель: $x^2 + 5x - 66$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x - 66 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289 = 17^2$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$
$x_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$
Следовательно, разложение числителя на множители имеет вид:
$x^2 + 5x - 66 = (x - (-11))(x - 6) = (x + 11)(x - 6)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $x^2 + 14x + 33$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 14x + 33 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 = 8^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-14 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$
$x_2 = \frac{-14 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$
Следовательно, разложение знаменателя на множители имеет вид:
$x^2 + 14x + 33 = (x - (-11))(x - (-3)) = (x + 11)(x + 3)$.

3. Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим ее.

$\frac{x^2 + 5x - 66}{x^2 + 14x + 33} = \frac{(x + 11)(x - 6)}{(x + 11)(x + 3)}$

Общим множителем является $(x+11)$. Сокращаем дробь на этот множитель (при условии, что $x+11 \neq 0$, то есть $x \neq -11$):

$\frac{\cancel{(x + 11)}(x - 6)}{\cancel{(x + 11)}(x + 3)} = \frac{x - 6}{x + 3}$

Ответ: $\frac{x - 6}{x + 3}$.