Номер 12, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Первая труба пропускает на 5 л воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 180 л она заполняет на 3 мин быстрее, чем вторая?

Пусть производительность второй трубы равна $x$ литров в минуту. Тогда, согласно условию, производительность первой трубы составляет $x + 5$ литров в минуту.

Резервуар объёмом 180 литров вторая труба заполнит за время $t_2 = \frac{180}{x}$ минут.

Первая труба заполнит тот же резервуар за время $t_1 = \frac{180}{x+5}$ минут.

Известно, что первая труба заполняет резервуар на 3 минуты быстрее, чем вторая. Это означает, что разница во времени заполнения составляет 3 минуты: $t_2 - t_1 = 3$.

Составим уравнение на основе этих данных:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+5} = 3$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+5} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{60(x+5) - 60x}{x(x+5)} = 1$

Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{60x + 300 - 60x}{x^2 + 5x} = 1$
$\frac{300}{x^2 + 5x} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 5x = 300$
$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность трубы (скорость потока воды) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, производительность второй трубы составляет 15 л/мин.

В задаче требуется найти, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба. Её производительность равна $x + 5$:
$15 + 5 = 20$ (л/мин)

Ответ: 20.