Номер 11, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Лыжник прошёл 9 км за 1 ч. Первые 4 км он прошёл с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 2 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость лыжника.

Пусть первоначальная скорость лыжника равна $x$ км/ч.

Первые 4 км он прошёл со скоростью $x$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, составляет $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{4}{x}$ ч.

Оставшаяся часть пути равна $9 - 4 = 5$ км.

Скорость на второй части пути была на 2 км/ч больше, то есть $v_2 = x + 2$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{5}{x+2}$ ч.

Общее время в пути составляет 1 час. Мы можем составить уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{4}{x} + \frac{5}{x+2} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$. Учтём, что $x>0$, так как скорость не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{4(x+2) + 5x}{x(x+2)} = 1$

$4(x+2) + 5x = x(x+2)$

$4x + 8 + 5x = x^2 + 2x$

$9x + 8 = x^2 + 2x$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 9x - 8 = 0$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, первоначальная скорость лыжника составляет 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.