Номер 7, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $ \frac{x^2 - 2x - 63}{x^2 - 5x - 36} $.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 2x - 63$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{256}}{2} = \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{256}}{2} = \frac{2 - 16}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Таким образом, разложение числителя на множители имеет вид: $x^2 - 2x - 63 = (x - 9)(x - (-7)) = (x - 9)(x + 7)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - 5x - 36$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, разложение знаменателя на множители имеет вид: $x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x - (-4)) = (x - 9)(x + 4)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 - 2x - 63}{x^2 - 5x - 36} = \frac{(x - 9)(x + 7)}{(x - 9)(x + 4)}$.

Сократим общий множитель $(x - 9)$ при условии, что $x - 9 \neq 0$, то есть $x \neq 9$.

$\frac{\cancel{(x - 9)}(x + 7)}{\cancel{(x - 9)}(x + 4)} = \frac{x + 7}{x + 4}$.

Ответ: $\frac{x + 7}{x + 4}$.