Номер 10, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. Найдите корни уравнения

$(x^2 - 9x)^2 - 3(x^2 - 9x) - 70 = 0.$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $(x^2 - 9x)$ повторяется в уравнении.

Пусть $t = x^2 - 9x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 3t - 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Рассмотрим случай, когда $t = 10$.

$x^2 - 9x = 10$

Перенесем 10 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 9x - 10 = 0$

Найдем его дискриминант:

$D_1 = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $x$:

$x_1 = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

2. Рассмотрим случай, когда $t = -7$.

$x^2 - 9x = -7$

Перенесем -7 в левую часть:

$x^2 - 9x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_2 = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 81 - 28 = 53$

Поскольку $D_2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_3 = \frac{9 + \sqrt{53}}{2}$

$x_4 = \frac{9 - \sqrt{53}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 10; \frac{9 - \sqrt{53}}{2}; \frac{9 + \sqrt{53}}{2}.$